1) Какое значение С приведет к тому, что уравнение 6x^2+12x+c=0 имеет только один корень? 2) Какие стороны

Решение:
1) У нас есть квадратное уравнение вида \(6x^2 + 12x + c = 0\). Для того чтобы это уравнение имело только один корень, дискриминант должен быть равен нулю. Дискриминант квадратного уравнения вычисляется по формуле: \(\Delta = b^2 - 4ac\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты уравнения.
В данном случае у нас \(a = 6\), \(b = 12\) и \(c\) - неизвестное значение.
Подставим это в формулу для дискриминанта и приравняем его к нулю:
\(\Delta = 12^2 - 4 \cdot 6 \cdot c = 0\).

Решаем это уравнение:
\(144 - 24c = 0\).
Вычитаем 144 из обеих частей уравнения:
\(-24c = -144\).
Делим обе части на -24, чтобы выразить c:
\(c = \frac{-144}{-24} = 6\).

Таким образом, значение С, которое приводит к тому, что уравнение \(6x^2 + 12x + c = 0\) имеет только один корень, равно 6.

2) У нас есть прямоугольник, и мы знаем, что разница между его сторонами составляет 21 см, а диагональ прямоугольника равна 39 см. Нам нужно найти длину и ширину прямоугольника.

Пусть длина прямоугольника будет \(a\), а ширина - \(b\). Тогда согласно условию, у нас есть два уравнения:
\(a - b = 21\) (разница между сторонами равна 21 см) и \(a^2 + b^2 = 39^2\) (диагональ прямоугольника равна 39 см).

Мы можем решить это систему уравнений, чтобы найти \(a\) и \(b\).
Первое уравнение можно переписать в виде \(a = b + 21\).

Подставим это значение \(a\) во второе уравнение:
\((b + 21)^2 + b^2 = 39^2\).

Раскрываем скобки:
\(b^2 + 2 \cdot 21 \cdot b + 21^2 + b^2 = 1521\).

Складываем и переписываем уравнение:
\(2b^2 + 2 \cdot 21 \cdot b + 441 = 1521\).

Вычитаем 1521 из обеих частей уравнения:
\(2b^2 + 2 \cdot 21 \cdot b - 1080 = 0\).

Сокращаем коэффициенты на 2:
\(b^2 + 21 \cdot b - 540 = 0\).

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Мы можем либо факторизовать его, либо использовать квадратное уравнение. Поскольку это не всегда просто факторизовать, воспользуемся квадратным уравнением.

Дискриминант этого уравнения будет равен:
\(\Delta = b^2 - 4ac = 21^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-540) = 441 + 2160 = 2601\).

Так как дискриминант положительный, у нас будет два корня:
\(b_1 = \frac{-21 + \sqrt{2601}}{2}\) и \(b_2 = \frac{-21 - \sqrt{2601}}{2}\).

Находим значения корней:
\(b_1 = \frac{-21 + 51}{2} = 15\) и \(b_2 = \frac{-21 - 51}{2} = -36\).

Поскольку длина не может быть отрицательной, мы заметим, что \(b_1 = 15\) - это ширина прямоугольника. Тогда длина прямоугольника будет:
\(a = b + 21 = 15 + 21 = 36\).

Таким образом, стороны прямоугольника, которые нужно найти, равны 36 см и 15 см соответственно.