Знайдіть радіус більшого круга, якщо величина кута в ньому становить 60 і він має зовнішній дотик до меншого круга

Щоб знайти радіус більшого круга, спочатку розглянемо ситуацію із зовнішнім дотиком. Якщо менший круг має відомий радіус, позначимо його як $r_1$. Зовнішній дотик означає, що відстань від центра більшого круга до точки дотику дорівнює радіусу меншого круга.

Також, величину кута в більшому крузі позначимо як $\theta$. За властивостями кутів, ми знаємо, що величина цього кута становить 60 градусів.

Тепер можемо продовжити до розв"язку задачі. Позначимо радіус більшого круга як $r_2$.

1. Розглянемо трикутник, що складається з центра більшого круга, точки дотику і вершини кута $\theta$. За властивостями центрального кута, він дорівнює $2\theta$.

2. Позначимо відрізок, що з"єднує центр меншого круга з центром більшого круга, як $d$.

3. Оскільки радіус меншого круга відомий і дорівнює $r_1$, то $d=2r_1$.

4. Також, утворений трикутник є рівнобедреним, оскільки два вектори із центра до точок дотику є радіусами кругів. Тому $2\theta$ є внутрішнім кутом, а $r_2$ є висотою, опущеною на основу рівнобедреного трикутника.

5. Користуючись формулою синуса для трикутників, можемо записати:

$$\sin (2\theta )=\frac{r_1}{r_2}$$

6. Відомо, що $\sin (2\theta )=2\sin (\theta )\cos (\theta )$. Підставляємо це значення у рівняння:

$$2\sin (\theta )\cos (\theta )=\frac{r_1}{r_2}$$

7. Знаючи, що $\sin ({60}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}$, можемо продовжити розв"язок:

$$2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{r_1}{r_2}$$

8. По спрощенню ми отримуємо:

$$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{r_1}{r_2}$$

9. Щоб виразити $r_2$, перетворимо рівняння:

$$r_2=\frac{r_1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$$

10. Раціоналізуємо дріб, помноживши нумератор та деномінатор на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$:

$$r_2=\frac{r_1\sqrt{3}}{2}$$

Таким чином, радіус більшого круга дорівнює $\frac{r_1\sqrt{3}}{2}$.