Знайдіть радіус більшого круга, якщо величина кута в ньому становить 60 і він має зовнішній дотик до меншого круга

Щоб знайти радіус більшого круга, спочатку розглянемо ситуацію із зовнішнім дотиком. Якщо менший круг має відомий радіус, позначимо його як \(r_1\). Зовнішній дотик означає, що відстань від центра більшого круга до точки дотику дорівнює радіусу меншого круга.

Також, величину кута в більшому крузі позначимо як \(\theta\). За властивостями кутів, ми знаємо, що величина цього кута становить 60 градусів.

Тепер можемо продовжити до розв"язку задачі. Позначимо радіус більшого круга як \(r_2\).

1. Розглянемо трикутник, що складається з центра більшого круга, точки дотику і вершини кута \(\theta\). За властивостями центрального кута, він дорівнює \(2\theta\).

2. Позначимо відрізок, що з"єднує центр меншого круга з центром більшого круга, як \(d\).

3. Оскільки радіус меншого круга відомий і дорівнює \(r_1\), то \(d = 2r_1\).

4. Також, утворений трикутник є рівнобедреним, оскільки два вектори із центра до точок дотику є радіусами кругів. Тому \(2\theta\) є внутрішнім кутом, а \(r_2\) є висотою, опущеною на основу рівнобедреного трикутника.

5. Користуючись формулою синуса для трикутників, можемо записати:

\[\sin(2\theta) = \frac{r_1}{r_2}\]

6. Відомо, що \(\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)\). Підставляємо це значення у рівняння:

\[2\sin(\theta)\cos(\theta) = \frac{r_1}{r_2}\]

7. Знаючи, що \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), можемо продовжити розв"язок:

\[2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{r_1}{r_2}\]

8. По спрощенню ми отримуємо:

\[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{r_1}{r_2}\]

9. Щоб виразити \(r_2\), перетворимо рівняння:

\[r_2 = \frac{r_1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\]

10. Раціоналізуємо дріб, помноживши нумератор та деномінатор на \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\):

\[r_2 = \frac{r_1\sqrt{3}}{2}\]

Таким чином, радіус більшого круга дорівнює \(\frac{r_1\sqrt{3}}{2}\).