Какова длина стороны MN, если MH равно 9 и высота NH, проведенная из прямого угла треугольника MNT, делит

Давайте рассмотрим данную задачу подробно.

У нас есть прямоугольный треугольник MNT, где M и N - вершины катетов, а T - вершина гипотенузы.

По условию задачи, высота NH, проведенная из прямого угла N, делит гипотенузу на две части. Обозначим длину гипотенузы как HT, а отрезок NH как x.

Теперь давайте воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит:

в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Таким образом, у нас получается следующее уравнение:

\(MN^2 + NH^2 = HT^2\)

Мы знаем, что длина MH равна 9, и MH является катетом треугольника MNT. Также, по определению, NH является высотой треугольника MNT.

Давайте упростим уравнение, подставив известные значения:

\(MN^2 + 9^2 = HT^2\)

\(\Rightarrow MN^2 + 81 = HT^2\)

Теперь давайте посмотрим, какой отрезок делит гипотенузу на две части. В нашем случае это отрезок NH. Отношение отрезков на гипотенузе в прямоугольном треугольнике равняется отношению катетов:

\(\frac{{NH}}{{HT}} = \frac{{MN}}{{MT}}\)

Так как NH делит гипотенузу на две части, мы можем его обозначить как HT/2:

\(\frac{{\frac{{HT}}{{2}}}}{{HT}} = \frac{{MN}}{{MT}}\)

\(\frac{{1}}{{2}} = \frac{{MN}}{{MT}}\)

Теперь мы имеем систему двух уравнений:

\(\begin{{cases}} MN^2 + 81 = HT^2 \\ \frac{{1}}{{2}} = \frac{{MN}}{{MT}} \end{{cases}}\)

Мы можем использовать второе уравнение для выражения MN через MT:

\(\frac{{1}}{{2}} = \frac{{MN}}{{MT}}\)

\(\Rightarrow MN = \frac{{MT}}{{2}}\)

Теперь, зная это, мы можем подставить MN в первое уравнение:

\(\left(\frac{{MT}}{{2}}\right)^2 + 81 = HT^2\)

\(\Rightarrow \frac{{MT^2}}{{4}} + 81 = HT^2\)

Умножаем обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

\(MT^2 + 324 = 4HT^2\)

\(\Rightarrow MT^2 - 4HT^2 + 324 = 0\)

Теперь это квадратное уравнение относительно MT. Мы можем решить его, используя квадратную формулу или факторизацию. Я вижу, что это квадратное уравнение имеет два множителя: (MT - 18) и (MT - 18). Таким образом, факторизуем его:

\((MT - 18)^2 = 0\)

Теперь находим значение MT:

\(MT - 18 = 0\)

\(\Rightarrow MT = 18\)

Выражаем MN через MT:

\(MN = \frac{{MT}}{{2}}\)

\(\Rightarrow MN = \frac{{18}}{{2}}\)

\(\Rightarrow MN = 9\)

Таким образом, длина стороны MN равна 9.