Знайдіть положення вершини D паралелограма ABCD у прямокутній системі координат і обчисліть довжину діагоналі BD, якщо

Для решения задачи о положении вершины D параллелограмма ABCD и вычисления длины диагонали BD используем прямоугольную систему координат.

Исходя из данных условия, у нас есть координаты трех вершин ABC: A(1, -3, 0), B(-2, 4, 1), и C(-3, k, n).

Для начала, найдем координаты вершины D параллелограмма ABCD. Мы знаем, что в параллелограмме противоположные стороны параллельны, поэтому вектор, соединяющий вершины A и B равен вектору, соединяющему вершины C и D.

Вектор AB можно выразить как \(\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)\), где \(x_1, y_1, z_1\) являются координатами точки A, а \(x_2, y_2, z_2\) - координатами точки B.

Подставим известные значения:
\(\overrightarrow{AB} = (-2 - 1, 4 - (-3), 1 - 0) = (-3, 7, 1)\).

Так как векторы AB и CD должны быть равны, то:
\(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} = (-3, 7, 1)\).

Из данных, мы знаем, что C(-3, k, n), поэтому вектор CD можно выразить как \(\overrightarrow{CD} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)\), где \(x_1, y_1, z_1\) являются координатами точки C, а \(x_2, y_2, z_2\) - координатами точки D.

Подставим известные значения:
\((-3 - x_1, k - y_1, n - z_1) = (-3, 7, 1)\).

Теперь можем составить систему уравнений:
\(-3 = -3 - x_1\),
\(7 = k - (-3)\),
\(1 = n - 0\).

Первое уравнение нам говорит, что \(x_1\) будет равно 0.
Второе уравнение говорит, что k будет равно 10.
Третье уравнение говорит, что n будет равно 1.

Таким образом, координаты вершины D параллелограмма ABCD равны (0, 10, 1).

Теперь вам нужно найти длину диагонали BD. Для этого используем формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве.

Длина диагонали BD будет равна:
\(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\),
где \(x_1, y_1, z_1\) являются координатами точки B, а \(x_2, y_2, z_2\) - координатами точки D.

Подставим известные значения:
\(\sqrt{(0 - (-2))^2 + (10 - 4)^2 + (1 - 1)^2}\).

Упростим выражение:
\(\sqrt{(2)^2 + (6)^2 + (0)^2} = \sqrt{4 + 36 + 0} = \sqrt{40}\).

Таким образом, длина диагонали BC будет равна \(\sqrt{40}\).