Знайдіть площу бічної поверхні піраміди (у см2), якщо гострий кут ромбу, який є основою піраміди, становить 30∘

Для решения этой задачи, нам нужно найти площадь боковой поверхности пирамиды. Давайте разберемся шаг за шагом.

Шаг 1: Найдем высоту пирамиды.
Высота пирамиды - это расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания. Для нахождения высоты пирамиды, мы можем использовать теорему косинусов в прямоугольном треугольнике, образованном углом 60° и половиной длины стороны основания пирамиды.

\[\cos(60^\circ) = \frac{h}{\frac{a}{2}}\]

Где \(h\) - высота пирамиды, \(a\) - длина стороны основания пирамиды.
Мы знаем, что \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\), поэтому:

\[\frac{1}{2} = \frac{h}{\frac{a}{2}}\]

Упростим выражение:

\[\frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} = h\]
\[\frac{a}{4} = h\]

Таким образом, мы находим, что высота пирамиды равна \(\frac{a}{4}\).

Шаг 2: Найдем длину стороны основания пирамиды.
У нас есть информация о том, что острый угол ромба, который является основанием пирамиды, равен 30°.

Так как в ромбе соседние углы равны, то острый угол равно 30°, а смежный ему рассеянный угол равен 180° - 30° = 150°.

Мы знаем, что вершина пирамиды является серединой ребра ромба, поэтому она делит рассеянный угол ромба пополам на два угла, которые равны 75° каждый.

Мы можем использовать формулу косинуса для нахождения длины стороны основания ромба.

\[\cos(75^\circ) = \frac{\frac{a}{2}}{a}\]

Где \(a\) - длина стороны основания ромба (равна длине стороны основания пирамиды).

Упростим выражение:

\[\cos(75^\circ) = \frac{\frac{a}{2}}{a}\]
\[\cos(75^\circ) = \frac{1}{2}\]

Таким образом, \(\frac{1}{2} = \frac{\frac{a}{2}}{a}\), что означает \(\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\), что всегда верно.

Мы получили, что длина стороны основания пирамиды может быть любым числом.

Шаг 3: Найдем радиус вписанного круга в основание пирамиды.
Мы знаем, что радиус круга, вписанного в ромб (и следовательно в основание пирамиды), имеет такую же длину, как число.

Шаг 4: Найдем площадь боковой поверхности пирамиды.
Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей всех боковых граней пирамиды. У нас дано, что все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания пирамиды под углом 60°.

Давайте вспомним, что площадь треугольника можно найти с использованием формулы \(\frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\theta)\), где \(a\) и \(b\) - длины сторон треугольника, а \(\theta\) - угол между этими сторонами.

Таким образом, каждая боковая грань пирамиды представляет собой равнобедренный треугольник с основанием в форме ромба и углом наклона 60° к основанию.

Длина основания треугольника равна длине стороны ромба, а равные стороны треугольника равны высоте пирамиды.

Площадь каждой боковой грани треугольника будет равной:

\[S = \frac{1}{2} \cdot h \cdot a \cdot \sin(60^\circ)\]

Где \(h\) - высота пирамиды, \(a\) - длина стороны основания пирамиды.

Мы знаем, что \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), поэтому:

\[S = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{4} \cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{16} \cdot a^2\]

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна \(\frac{\sqrt{3}}{16} \cdot a^2\).

Ответ: Площадь боковой поверхности пирамиды равна \(\frac{\sqrt{3}}{16} \cdot a^2\) (в квадратных сантиметрах), где \(a\) - длина стороны основания пирамиды.