Какова площадь сечения шара, если секция проведена в объеме 288 кубических сантиметров и отрезок, соединяющий центр

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать формулу для объема шара, а затем выразить площадь сечения через данный объем и угол.

Шар имеет объем \(V\) и радиус \(r\), а площадь сечения шара, это площадь окружности, поэтому площадь сечения будем обозначать \(S\).

Объем шара можно выразить следующей формулой:
\[V = \frac{4}{3}\pi r^3\]

Дано, что объем шара равен 288 кубическим сантиметрам, поэтому мы можем записать уравнение:
\[288 = \frac{4}{3}\pi r^3\]

Теперь нам нужно найти связь между углом сечения и площадью сечения. Когда мы рассекаем шар плоскостью, отрезок, соединяющий центр шара с точкой окружности сечения, образует угол с плоскостью сечения.

Мы знаем, что угол сечения равен 60 градусам. Мы также знаем, что отрезок, соединяющий центр шара с точкой окружности сечения (радиус сечения), будет перпендикулярен плоскости сечения. Таким образом, у нас будет равнобедренный треугольник с углом 60 градусов.

В таком треугольнике, угол между центральным отрезком (радиусом) и одной из боковых сторон (отрезком сечения) - это 30 градусов. Таким образом, мы можем использовать тригонометрические соотношения синуса и косинуса, чтобы найти длину отрезка сечения.

Косинус угла 30 градусов равен \(\frac{{\sqrt{3}}}{2}\), поэтому мы можем записать:
\[\frac{r}{S} = \frac{{\sqrt{3}}}{2}\]
\(S\) - неизвестная площадь сечения.

Теперь мы можем решить уравнение для радиуса \(r\) из уравнения объема шара и подставить его в уравнение для площади сечения.

\[\frac{4}{3}\pi r^3 = 288\]
\[r^3 = \frac{288}{\frac{4}{3}\pi}\]
\[r^3 = \frac{216}{\pi}\]
\[r = \sqrt[3]{\frac{216}{\pi}}\]

Теперь, используя полученное значение радиуса \(r\), мы можем выразить площадь сечения \(S\) через формулу:
\[S = \frac{r^2 \cdot \sqrt{3}}{2}\]
\[S = \frac{\left(\sqrt[3]{\frac{216}{\pi}}\right)^2 \cdot \sqrt{3}}{2}\]
\[S = \frac{\left(\frac{216}{\pi}\right)^\frac{2}{3} \cdot \sqrt{3}}{2}\]

После подстановки численных значений, мы можем найти площадь сечения шара.