Какова сумма длин диагоналей параллелограмма, угол между которыми в два раза больше острого угла параллелограмма

Чтобы решить задачу, нам понадобится некоторый математический аппарат. Давайте начнем с определения параллелограмма. Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны по длине. Также известно, что у параллелограмма противоположные углы равны.

Чтобы решить эту задачу, нам нужно выразить длины диагоналей через стороны параллелограмма.

Пусть \(a\) и \(b\) - стороны параллелограмма, а \(d_1\) и \(d_2\) - его диагонали. Обозначим острый угол параллелограмма как \(\alpha\).

У нас задано, что угол между диагоналями в два раза больше острого угла параллелограмма. Это означает, что угол между диагоналями равен \(2\alpha\).

Используя геометрические свойства параллелограмма и соответствующие тригонометрические соотношения, мы можем выразить длины диагоналей следующим образом:

\[d_1 = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab\cos(\alpha)}\]
\[d_2 = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos(\alpha)}\]

Теперь подставим значения сторон параллелограмма: \(a = 8\) и \(b = 10\).

\[d_1 = \sqrt{8^2 + 10^2 + 2 \cdot 8 \cdot 10 \cdot \cos(\alpha)}\]
\[d_2 = \sqrt{8^2 + 10^2 - 2 \cdot 8 \cdot 10 \cdot \cos(\alpha)}\]

Теперь нам нужно найти острый угол параллелограмма \(\alpha\). Мы знаем, что острый угол параллелограмма равен половине угла между диагоналями, то есть \(\alpha = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}\).

Подставим это значение в формулы для диагоналей:

\[d_1 = \sqrt{8^2 + 10^2 + 2 \cdot 8 \cdot 10 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)}\]
\[d_2 = \sqrt{8^2 + 10^2 - 2 \cdot 8 \cdot 10 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)}\]

Вычислим значение выражений в скобках:

\(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\)

Подставим это значение:

\[d_1 = \sqrt{8^2 + 10^2 + 2 \cdot 8 \cdot 10 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}\]
\[d_2 = \sqrt{8^2 + 10^2 - 2 \cdot 8 \cdot 10 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}\]

Теперь вычислим значения выражений в скобках:

\[d_1 = \sqrt{64 + 100 + 80 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}\]
\[d_2 = \sqrt{64 + 100 - 80 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}\]

Упростим эти выражения:

\[d_1 = \sqrt{164 + 80 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}\]
\[d_2 = \sqrt{164 - 80 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}\]

Вычислим численные значения:

\[d_1 \approx \sqrt{164 + 80 \cdot 0.707} \approx \sqrt{223.56} \approx 14.95\]
\[d_2 \approx \sqrt{164 - 80 \cdot 0.707} \approx \sqrt{104.44} \approx 10.22\]

Теперь нам нужно найти сумму длин диагоналей:

\[\text{Сумма диагоналей} = d_1 + d_2 \approx 14.95 + 10.22 \approx 25.17\]

Итак, округлив сумму длин диагоналей до целого числа, получаем, что сумма длин диагоналей параллелограмма равна 25.

Ответ: Сумма длин диагоналей параллелограмма равна 25 (округлено до целого числа).