Знайдіть периметр чотирикутника, утвореного послідовними з єднаннями середин сторін правильного восьмикутника, якщо

Перш ніж знайти периметр чотирикутника, утвореного з"єднаннями середин сторін правильного восьмикутника, розглянемо сам восьмикутник.

Правильний восьмикутник має восемь однакових сторін і восемь однакових кутів. З восьмикутника ми можемо виділити внутрішній квадрат, що утворюється з"єднаннями середин сторін восьмикутника.

Внутрішній квадрат має чотири сторони, які дорівнюють половині сторін восьмикутника. Оскільки сторони восьмикутника однакові, скажемо що одна сторона восьмикутника рівна "а".

Тоді сторона внутрішнього квадрата буде дорівнювати \(\frac{a}{2}\). А оскільки в квадраті всі сторони рівні між собою, то його периметр можна обчислити за формулою:

\[
P_{квадрат} = 4 \times \text{{довжина сторони квадрата}}
\]

Отже, периметр внутрішнього квадрата дорівнює \(4 \times \frac{a}{2} = 2a\).

Тепер ми знаємо периметр внутрішнього квадрата, але нам потрібно знайти периметр чотирикутника, утвореного послідовними з"єднаннями середин сторін цього квадрата.

Чотирикутник складається з чотирьох відрізків, кожен з яких можна обчислити. Зауважимо, що ці відрізки є діагоналями квадрата і малим радіусом внутрішнього кола, описаного навколо восьмикутника.

Малий радіус кола, описаного навколо восьмикутника, можна знайти за формулою:

\[
r = \frac{a}{2} \times \sqrt{2 - \sqrt{2}}
\]

Таким чином, довжина однієї діагоналі чотирикутника може бути знайдена за формулою:

\[
d = 2 \times (\text{{довжина сторони квадрата}}) = 2 \times 2a = 4a
\]

Отже, периметр чотирикутника дорівнює сумі довжин всіх його сторін:

\[
P_{чотирикутник} = 4 \times (\text{{довжина сторони квадрата}}) = 4 \times 2a = 8a
\]

Таким чином, периметр чотирикутника, утвореного послідовними з"єднаннями середин сторін правильного восьмикутника, дорівнює \(8a\).