Какая длина стороны треугольника, если радиус окружности вписанной в него равен 4/√3? Варианты ответов: 1) 3√3 2) 2/√3

Чтобы найти длину стороны треугольника, зная радиус вписанной окружности, мы можем использовать формулу, связывающую радиус вписанной окружности и длины сторон треугольника. Формула для радиуса вписанной окружности в треугольник равна:
\[r = \frac{{S}}{{p}}\]
где \(r\) - радиус окружности, \(S\) - площадь треугольника, \(p\) - полупериметр треугольника.

Для нашего треугольника длина радиуса равна \(\frac{4}{{\sqrt{3}}}\). Теперь мы можем использовать эту информацию для нахождения площади треугольника.

Площадь треугольника можно вычислить, используя формулу Герона:
\[S = \sqrt{{p(p - a)(p - b)(p - c)}}\]
где \(a\), \(b\) и \(c\) - длины сторон треугольника, \(p\) - полупериметр треугольника.

Так как у нас в треугольнике только одна сторона, то \(a = x\), где \(x\) - искомая длина стороны. Давайте заменим значения в формуле и решим ее:

\[\frac{4}{{\sqrt{3}}} = \sqrt{{\left(p - x\right)p(p - x)(p - x)}}\]

Теперь найдем полупериметр \(p\) по формуле:
\[p = \frac{{a + b + c}}{2}\]
Так как у нас только одна сторона известна, то \(a = x\). Давайте заменим значения в формуле:

\[p = \frac{{x + x + x}}{2} = \frac{{3x}}{2}\]

Теперь заменим значение полупериметра в формуле для площади треугольника:

\[\frac{4}{{\sqrt{3}}} = \sqrt{{\left(\frac{{3x}}{2} - x\right)\left(\frac{{3x}}{2}\right)\left(\frac{{3x}}{2} - x\right)}}\]

Упростим выражение:

\[\frac{4}{{\sqrt{3}}} = \sqrt{{\frac{{5x}}{2}\cdot\frac{{3x}}{2}\cdot\frac{{x}}{2}}} = \sqrt{{\frac{{15x^3}}{8}}}\]

Теперь избавимся от корня, возведя обе части уравнения в квадрат:

\[\left(\frac{4}{{\sqrt{3}}}\right)^2 = \left(\sqrt{{\frac{{15x^3}}{8}}}\right)^2\]

\[\frac{{16}}{{3}} = \frac{{15x^3}}{{8}}\]

Теперь решим уравнение относительно \(x\). Перемножим оба члена уравнения на 8, чтобы избавиться от дроби и упростить выражение:

\[8 \cdot \frac{{16}}{{3}} = 8 \cdot \frac{{15x^3}}{{8}}\]

\[x^3 = \frac{{16 \cdot 15}}{{3}}\]

\[x^3 = 80\]

Теперь извлекаем кубический корень из обеих частей уравнения:

\[x = \sqrt[3]{{80}}\]

\[x = \sqrt[3]{{2^4 \cdot 5}}\]

\[x = 2\sqrt[3]{{5}}\]

Следовательно, длина стороны треугольника равна \(2\sqrt[3]{{5}}\) или примерно 2,82.

Таким образом, правильный ответ - вариант 2) \(2/\sqrt{3}\).