1. Найдите координаты точек, которые являются симметричными относительно точек a (7; -9) и b (0; 6) относительно

C (5;-2). Найдите координаты точки пересечения этой прямой с последней стороной (bc) треугольника. 5. Определите значение выражения: \(\frac{{4^{5} \cdot 2^{8}}}{{2^{7} \cdot 8^{3} \cdot 3^{2}}}\). 6. Представьте число \(0.125\) в виде десятичной дроби и обыкновенной несократимой дроби. Решение 1. Чтобы найти точки, которые являются симметричными относительно заданных точек a и b, воспользуемся формулой симметрии: 1) Ось абсцисс - точка \(A(x; y)\) будет симметрична точке \(A"(x; -y)\) относительно оси абсцисс. То же самое касается точки \(B(b_{1}; b_{2})\) и ее симметричной точки \(B"(b_{1}; -b_{2})\) относительно оси абсцисс. Таким образом, для точки \(A"(x; -y)\) относительно оси абсцисс с координатами \(A(x; y)\) получаем \(A"(x; -y)\). Для точки \(B"(b_{1}; -b_{2})\) относительно оси абсцисс с координатами \(B(b_{1}; b_{2})\) получаем \(B"(b_{1}; -b_{2})\). Заметим, что при симметрии относительно оси абсцисс координата y меняет знак. 2) Ось ординат - точка \(A(x; y)\) будет симметрична точке \(A"(-x; y)\) относительно оси ординат. Также точка \(B(b_{1}; b_{2})\) будет симметрична точке \(B"(-b_{1}; b_{2})\) относительно оси ординат. Получаем, что для точки \(A"(-x; y)\) относительно оси ординат с координатами \(A(x; y)\) получаем \(A"(-x; y)\). Для точки \(B"(-b_{1}; b_{2})\) относительно оси ординат с координатами \(B(b_{1}; b_{2})\) получаем \(B"(-b_{1}; b_{2})\). Заметим, что при симметрии относительно оси ординат координата x меняет знак. 3) Начало координат - точка \(A(x; y)\) будет симметрична точке \(A"(-x; -y)\) относительно начала координат. То же самое касается точки \(B(b_{1}; b_{2})\) и ее симметричной точки \(B"(-b_{1}; -b_{2})\) относительно начала координат. Получаем, что для точки \(A"(-x; -y)\) относительно начала координат с координатами \(A(x; y)\) получаем \(A"(-x; -y)\). Для точки \(B"(-b_{1}; -b_{2})\) относительно начала координат с координатами \(B(b_{1}; b_{2})\) получаем \(B"(-b_{1}; -b_{2})\). Заметим, что при симметрии относительно начала координат обе координаты меняют знаки. 2. Чтобы построить треугольник \(BCD\), нам необходимы точки \(B(b_{1}; b_{2})\), \(C(c_{1}; c_{2})\) и \(D(d_{1}; d_{2})\). Зная координаты точки \(B(0; 6)\) и предположив, что стороны \(BC\) и \(BD\) имеют одинаковую длину, мы можем найти координаты точек \(C\) и \(D\), используя формулы параллельного переноса для векторов. 1) При параллельном перемещении на вектор \(CD\), координаты точки \(B(b_{1}; b_{2})\) изменяются следующим образом: \(B(b_{1}+c_{1}; b_{2}+c_{2})\). То есть, имея точку \(B(0; 6)\) и вектор \(CD(c_{1}; c_{2})\), мы можем найти координаты точки \(C\) как \(C(0+c_{1}; 6+c_{2})\). Точно так же, координаты точки \(D\) будут равны \(D(0+c_{1}; 6+c_{2})\). 2) При симметрии относительно точки \(B(0; 6)\), координаты точки \(C(c_{1}; c_{2})\) изменяются следующим образом: \(C(-c_{1}; -c_{2})\). Мы можем найти координаты точек \(C"\) с помощью формулы симметрии: \(C"(-c_{1}; -c_{2})\). 3) При симметрии относительно прямой \(BC\), координаты точки \(D(d_{1}; d_{2})\) изменяются следующим образом: \(D(-d_{1}; 2d_{2})\). Мы можем найти координаты точек \(D"\) с помощью формулы симметрии: \(D"(-d_{1}; 2d_{2})\). 3. Нам дано, что точка \(C"(x; -8)\) является образом точки \(C(5; y)\) при гомотетии с центром \(H(-3; 1)\) и коэффициентом \(k = -14\). Чтобы найти значения \(x\) и \(y\), воспользуемся формулами гомотетии: \(x = k \cdot (x_{c} - x_{h}) + x_{h}\) и \(y = k \cdot (y_{c} - y_{h}) + y_{h}\), где \((x_{c}, y_{c})\) - координаты точки \(C(5; y)\), \((x_{h}, y_{h})\) - координаты центра гомотетии \(H(-3; 1)\). Подставив известные значения, мы получаем следующие уравнения: \(x = -14 \cdot (5 - (-3)) + (-3)\) и \(-8 = -14 \cdot (y - 1) + 1\). Решая эти уравнения, получаем, что \(x = -8\) и \(y = -10\). 4. Чтобы найти точку пересечения прямой, параллельной стороне \(AB\) треугольника \(ABC\), и стороне \(AC\), мы можем воспользоваться формулой пересечения двух прямых. Используя формулу \(x = \frac{{c_{2} \cdot b_{3} - b_{2} \cdot c_{3}}}{{b_{2} \cdot c_{1} - b_{1} \cdot c_{2}}}\) и \(y = \frac{{b_{1} \cdot c_{3} - c_{1} \cdot b_{3}}}{{b_{2} \cdot c_{1} - b_{1} \cdot c_{2}}}\), где \((b_{1}, b_{2})\) и \((c_{1}, c_{2})\) - координаты точек \(A(7, -9)\) и \(B(0, 6)\) соответственно, а \(b_{3}\) и \(c_{3}\) - свободные члены уравнений прямых, мы можем найти координаты точки пересечения.