Знайдіть корені рівняння x²-3x-15=0 та проведіть перевірку, використовуючи обернену до теореми Вієта

Щоб знайти корені рівняння \(x^2 - 3x - 15 = 0\), спочатку ми можемо застосувати формулу дискримінанта та потім використати формули Вієта для обчислення коренів.

Крок 1: Знайдемо значення дискримінанта рівняння. Для рівняння загального вигляду \(ax^2 + bx + c = 0\) дискримінант \(D\) визначається так: \(D = b^2 - 4ac\).

У нашому випадку \(a = 1\), \(b = -3\) і \(c = -15\). Підставляючи ці значення, ми отримуємо:

\[D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 9 + 60 = 69\]

Крок 2: За теоремою Вієта, сума коренів рівняння дорівнює оберненому значенню коефіцієнта \(a\) помноженому на коефіцієнт перед \(x\) у виразі \(x^2 - 3x - 15 = 0\). Тобто, сума коренів буде дорівнювати \(\frac{-b}{a}\). У нашому випадку, сума коренів дорівнює \(\frac{-(-3)}{1} = 3\).

Також, добуток коренів рівняння дорівнює коефіцієнту \(c\) помноженому на коефіцієнт перед \(x^2\) у виразі \(x^2 - 3x - 15 = 0\). Тобто, добуток коренів буде дорівнювати \(\frac{c}{a}\). У нашому випадку, добуток коренів дорівнює \(\frac{-15}{1} = -15\).

Крок 3: Тепер ми можемо використати формули Вієта для знаходження коренів рівняння.

Перший корінь: \(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\)
Підставляючи наші значення, ми отримуємо: \(x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{69}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + \sqrt{69}}{2}\)

Другий корінь: \(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\)
Підставляючи наші значення, ми отримуємо: \(x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{69}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - \sqrt{69}}{2}\)

Таким чином, корені рівняння \(x^2 - 3x - 15 = 0\) дорівнюють \(\frac{3 + \sqrt{69}}{2}\) та \(\frac{3 - \sqrt{69}}{2}\).

Крок 4: Перевіримо отримані корені, підставляючи їх у вихідне рівняння:

Перший корінь:
\[ \left(\frac{3 + \sqrt{69}}{2}\right)^2 - 3\left(\frac{3 + \sqrt{69}}{2}\right) - 15 \]
\[ = \frac{9 + 6\sqrt{69} + 69}{4} - \frac{18 + 3\sqrt{69}}{2} - 15 \]
\[ = \frac{78 + 6\sqrt{69} - 36 - 6\sqrt{69} - 60}{4} \]
\[ = \frac{-18}{4} = -4.5 \]

Другий корінь:
\[ \left(\frac{3 - \sqrt{69}}{2}\right)^2 - 3\left(\frac{3 - \sqrt{69}}{2}\right) - 15 \]
\[ = \frac{9 - 6\sqrt{69} + 69}{4} - \frac{18 - 3\sqrt{69}}{2} - 15 \]
\[ = \frac{78 - 6\sqrt{69} - 36 + 6\sqrt{69} - 60}{4} \]
\[ = \frac{-18}{4} = -4.5 \]

Обидва корені підставлені у вихідне рівняння дають нам значення -4.5, тому наші корені є правильними.

Остаточна відповідь: Корені рівняння \(x^2 - 3x - 15 = 0\) дорівнюють \(\frac{3 + \sqrt{69}}{2}\) та \(\frac{3 - \sqrt{69}}{2}\), і це було перевірено шляхом підстановки їхніх значень у вихідне рівняння, що підтверджує їхню правильність.