Знайдіть інтервали, в яких функція у = 2х - х² монотонна, а також точки екстремумів та їх значення

Для того чтобы найти интервалы, на которых функция \( y = 2x - x^2 \) монотонна, а также найти точки экстремумов и их значения, мы должны проанализировать производную этой функции.

Шаг 1: Найдем производную функции \( y = 2x - x^2 \) по переменной \( x \).
Для этого возьмем производную от каждого члена по отдельности:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (2x) - \frac{d}{dx} (x^2) \]
\[ = 2 - 2x \]

Шаг 2: Решим уравнение \( \frac{dy}{dx} = 2 - 2x \) для нахождения точек, где производная равна нулю.
\[ 2 - 2x = 0 \]
\[ 2x = 2 \]
\[ x = 1 \]

Шаг 3: Теперь у нас есть точка \( x = 1 \), которая может быть точкой экстремума нашей функции. Чтобы определить, является ли эта точка максимумом или минимумом, расчетеов глобальных экстремумов, нужно проанализировать знак производной в окрестности этой точки.

Шаг 4: Оценим знаки производной до и после точки \( x = 1 \), чтобы определить интервалы, на которых функция монотонна:
Для \( x < 1 \), подставим \( x = 0 \) в производную:
\[ \frac{dy}{dx} = 2 - 2(0) = 2 \]
Таким образом, производная положительна для всех значений \( x < 1 \).

Для \( x > 1 \), подставим \( x = 2 \) в производную:
\[ \frac{dy}{dx} = 2 - 2(2) = -2 \]
Таким образом, производная отрицательна для всех значений \( x > 1 \).

Шаг 5: Подводя итоги, мы можем сделать следующие выводы:
- Функция \( y = 2x - x^2 \) монотонно возрастает на интервале \((-\infty, 1)\).
- Функция \( y = 2x - x^2 \) монотонно убывает на интервале \((1, +\infty)\).

Теперь давайте найдем точки экстремумов и их значения.
Учитывая, что у нас есть только одна точка, \( x = 1 \), мы можем найти значение функции в этой точке, подставив \( x = 1 \) в исходную функцию:
\[ y = 2(1) - (1)^2 = 2 - 1 = 1 \]

Таким образом, точка экстремума функции \( y = 2x - x^2 \) находится в точке \( (1, 1) \).

Надеюсь, что объяснение было понятным и помогло вам разобраться в данной задаче. Если у вас еще есть вопросы, не стесняйтесь задавать их.