Зажгли три свечи одинаковой длины, но разного диаметра, без использования свечи x . Длина каждой свечи составляет

Давайте разберем эту задачу пошагово:

1. Запишем данные, которые даны в задаче:
- Длина каждой свечи: 24 см
- Время полного горения первой свечи: 6 часов
- Время полного горения второй свечи: 4 часа
- Огарок от первой свечи в два раза длиннее, чем от второй

2. Пусть \(x\) будет временем полного горения третьей свечи в часах.

3. Так как объем свечи пропорционален времени горения, а объем свечи определяется длиной и площадью поперечного сечения, то можно сделать следующие выводы:
- Первая свеча имеет больший диаметр, поэтому и площадь поперечного сечения у нее больше, чем у второй свечи.
- Вторая свеча горит в два раза быстрее первой, поэтому огарок от второй свечи в два раза короче огарка от первой свечи.
- Так как длина свечей одинаковая, можно сделать вывод, что площадь поперечного сечения у второй свечи в два раза меньше, чем у первой свечи.

4. По формуле площади поперечного сечения круга \(S = \pi r^2\) (где \(S\) - площадь поперечного сечения, \(\pi\) - математическая константа, \(r\) - радиус круга), можно составить следующие выражения для площади поперечных сечений первой и второй свеч:
- Площадь первой свечи: \(S_1 = \pi r_1^2\)
- Площадь второй свечи: \(S_2 = \pi r_2^2\)

5. Так как у второй свечи площадь поперечного сечения в два раза меньше, чем у первой свечи, то можно записать следующее уравнение:
\(\frac{{S_2}}{{S_1}} = \frac{1}{2}\)

6. Подставим формулу для площадей поперечных сечений в уравнение и выразим радиусы свечей:
\(\frac{{\pi r_2^2}}{{\pi r_1^2}} = \frac{1}{2}\)
\(r_2^2 = \frac{1}{2} r_1^2\)
\(r_2 = \sqrt{\frac{1}{2}} r_1\)

7. Так как диаметры свечей обратно пропорциональны их радиусам, можно записать следующее:
\(\frac{{d_2}}{{d_1}} = \frac{{r_1}}{{r_2}}\)
\(\frac{{d_2}}{{d_1}} = \frac{{r_1}}{{\sqrt{\frac{1}{2}} r_1}}\)
\(\frac{{d_2}}{{d_1}} = \sqrt{2}\)
\(d_2 = \sqrt{2} d_1\)

8. Теперь мы знаем, что диаметр второй свечи равен \(\sqrt{2}\) раза диаметру первой свечи.

9. Далее, используем формулу для объема свечи \(V = S \cdot h\) (где \(V\) - объем свечи, \(S\) - площадь поперечного сечения, \(h\) - длина свечи).

10. Запишем формулу для пропорциональности объемов свечей:
\(\frac{{V_2}}{{V_1}} = \frac{{h_2}}{{h_1}}\)
\(\frac{{\pi \left(\frac{{d_2}}{2}\right)^2 h_2}}{{\pi \left(\frac{{d_1}}{2}\right)^2 h_1}} = \frac{{h_2}}{{6}}\) (так как первая свеча горит 6 часов)
\(\frac{{\left(\frac{{\sqrt{2} d_1}}{2}\right)^2 h_2}}{{h_1}} = \frac{{h_2}}{{6}}\)
\(\frac{{2 d_1^2 h_2}}{{4 h_1}} = \frac{{h_2}}{{6}}\)

11. Упростим уравнение и выразим отношение времен:
\(\frac{{d_1^2 h_2}}{{2 h_1}} = \frac{{h_2}}{{6}}\)
\(d_1^2 h_2 = 3 h_2 h_1\)
\(d_1^2 = 3 h_1\)
\(d_1 = \sqrt{3 h_1}\)

12. Теперь, используя данные из задачи, найдем значение переменной \(d_1\):
\(24 = \sqrt{3\cdot 6}\)
\(24 = \sqrt{18}\)

13. Найдем значение переменной \(d_2\):
\(d_2 = \sqrt{2} \cdot d_1 = \sqrt{2}\sqrt{18} = \sqrt{36} = 6\)

14. Так как длина свечей одинаковая, а диаметр второй свечи равен 6 см, то радиус второй свечи равен \(r_2 = \frac{d_2}{2} = \frac{6}{2} = 3\) см.

15. Теперь мы можем использовать данные о времени полного горения первой и второй свечей, чтобы найти время полного горения третьей свечи.

16. Сначала найдем объемы свечей:
\(V_1 = S_1 \cdot h_1 = \pi \cdot r_1^2 \cdot 6 = \pi \cdot 3^2 \cdot 6 = 54 \pi\) (см³)
\(V_2 = S_2 \cdot h_2 = \pi \cdot r_2^2 \cdot 4 = \pi \cdot 3^2 \cdot 4 = 36 \pi\) (см³)

17. Объем третьей свечи равен разности объемов первой и второй свечей:
\(V_3 = V_1 - V_2 = 54 \pi - 36 \pi = 18 \pi\) (см³)

18. Теперь можем найти время полного горения третьей свечи, используя формулу \(V = S \cdot h\) и объем третьей свечи:
\(V_3 = S_3 \cdot h_3\)
\(18 \pi = \pi \cdot r_3^2 \cdot h_3\)
\(18 = r_3^2 \cdot h_3\)

19. Так как длина каждой свечи 24 см, а объем третьей свечи равен \(18 \pi\) (см³), можем найти высоту третьей свечи:
\(24 = r_3^2 \cdot h_3\)
\(h_3 = \frac{{24}}{{r_3^2}}\)

20. Теперь найдем значение радиуса третьей свечи, подставив значение диаметра в уравнение:
\(r_3 = \frac{{d_3}}{{2}} = \frac{{24}}{{2}} = 12\) (см)

21. Подставим значение радиуса третьей свечи в уравнение для высоты третьей свечи:
\(h_3 = \frac{{24}}{{r_3^2}} = \frac{{24}}{{12^2}} = \frac{{24}}{{144}} = \frac{{1}}{{6}}\) (см)

22. Итак, получаем ответ: третья свеча полностью сгорит за \(\frac{{1}}{{6}}\) часа.

Таким образом, время полного горения третьей свечи составляет \(\frac{{1}}{{6}}\) часа или 10 минут.