ЗАВДАННЯ. ПЕРЕФОРМУЙТЕ ТЕКСТ ЗАДАЧІ. ВИ МАЄТЕ ЗМОЖЛИВІСТЬ ЗМІНИТИ ТЕКСТ ЗАДАЧІ, АЛЕ НЕ ВТРАТИТИ ЇЇ ЗНАЧЕННЯ І ОБСЯГ

21 см. Знайти кут між площинами цих трикутників.

Розв"яжемо цю задачу за допомогою векторного аналізу.

Нехай вектори \(\vec{AB}\) і \(\vec{AC}\) є сторонами першого трикутника, а \(\vec{DE}\), \(\vec{DF}\) і \(\vec{DG}\) - сторонами другого трикутника.

Оскільки другий трикутник утворюється проектуванням першого на площину, то вектори \(\vec{DE}\), \(\vec{DF}\) і \(\vec{DG}\) лежать в площині першого трикутника.

Площина першого трикутника задана нормальним вектором \(\vec{n_1}\), тому трикутник, утворений проектуванням на цю площину, буде мати нормальний вектор, паралельний вектору \(\vec{n_1}\). Отже, нормальний вектор до другого трикутника - \(\vec{n_2} = \vec{n_1}\).

Візьмемо вектор \(\vec{BC}\), який лежить в площині першого трикутника. Ми можемо виразити його через сторони \(\vec{AB}\) і \(\vec{AC}\):
\(\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}\).

Проведемо вектор \(\vec{BH}\) перпендикулярний до площини першого трикутника. Він буде паралельний вектору \(\vec{n_1}\), тому можемо записати:
\(\vec{BH} = t \cdot \vec{n_1}\),
де \(t\) - невідоме дійсне число.

Тоді вектор \(\vec{CH}\) буде мати такі жі координати, як вектор \(\vec{BC}\), але буде змінений на відстань \(t\) вздовж вектора \(\vec{n_1}\):
\(\vec{CH} = \vec{BC} + \vec{BH}\).

Підставимо відомі значення:
\(\vec{CH} = (\vec{AC} - \vec{AB}) + (t \cdot \vec{n_1})\).

Оскільки вектор \(\vec{CH}\) лежить в площині другого трикутника, то ми можемо записати рівняння площини другого трикутника, використовуючи вектори \(\vec{DE}\), \(\vec{DF}\) і \(\vec{DG}\):

\(\vec{CH} \cdot (\vec{DE} \times \vec{DF}) = 0\).

Виразимо це рівняння:

\((\vec{AC} - \vec{AB}) \cdot (\vec{DE} \times \vec{DF}) + (t \cdot \vec{n_1}) \cdot (\vec{DE} \times \vec{DF}) = 0\).

Врахуємо, що \((\vec{DE} \times \vec{DF})\) - нормальний вектор до площини другого трикутника, тому \(\vec{n_2} \cdot (\vec{DE} \times \vec{DF}) = 0\). Підставимо це значення:

\((\vec{AC} - \vec{AB}) \cdot (\vec{DE} \times \vec{DF}) + (t \cdot \vec{n_1}) \cdot \vec{n_2} = 0\).

Розкриємо добуток склалярних векторів:

\((\vec{AC} - \vec{AB}) \cdot (\vec{DE} \times \vec{DF}) + t \cdot (\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}) = 0\).

Оскільки \(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = \|\vec{n_1}\| \cdot \|\vec{n_2}\| \cdot \cos{\theta}\), де \(\theta\) - кут між площинами, то можемо записати:

\((\vec{AC} - \vec{AB}) \cdot (\vec{DE} \times \vec{DF}) + t \cdot \|\vec{n_1}\| \cdot \|\vec{n_2}\| \cdot \cos{\theta} = 0\).

Ми знаємо, що площина першого трикутника має площу \(S_1 = \frac{1}{2} \|\vec{AB} \times \vec{AC}\|\). Оскільки другий трикутник утворюється проектуванням першого, то площина другого трикутника має площу \(S_2 = S_1 \cdot \cos{\theta}\). Підставимо це значення:

\((\vec{AC} - \vec{AB}) \cdot (\vec{DE} \times \vec{DF}) + t \cdot \|\vec{n_1}\| \cdot \|\vec{n_2}\| \cdot \frac{S_1}{S_2} = 0\).

Підставимо відомі значення:
\((\vec{AC} - \vec{AB}) \cdot (\vec{DE} \times \vec{DF}) + t \cdot \|\vec{n_1}\| \cdot \|\vec{n_2}\| \cdot \frac{180}{S_2} = 0\).

Знаючи, що \(\|\vec{DE} \times \vec{DF}\| = S_2\), можемо записати:

\((\vec{AC} - \vec{AB}) \cdot \frac{S_2}{S_2} + t \cdot \|\vec{n_1}\| \cdot \|\vec{n_2}\| \cdot \frac{180}{S_2} = 0\).

Скоротимо вираз:

\((\vec{AC} - \vec{AB}) + t \cdot \|\vec{n_1}\| \cdot \|\vec{n_2}\| \cdot \frac{180}{S_2} = 0\).

Розкриємо дужки:

\(\vec{AC} - \vec{AB} + t \cdot \|\vec{n_1}\| \cdot \|\vec{n_2}\| \cdot \frac{180}{S_2} = 0\).

Виразимо \(t\):

\(t = \frac{\vec{AB} - \vec{AC}}{\|\vec{n_1}\| \cdot \|\vec{n_2}\| \cdot \frac{180}{S_2}}\).

Підставимо відомі значення:

\(t = \frac{\vec{AB} - \vec{AC}}{\|\vec{n_1}\| \cdot \|\vec{n_2}\| \cdot \frac{180}{180}}\).

Спростимо:

\(t = \frac{\vec{AB} - \vec{AC}}{\|\vec{n_1}\| \cdot \|\vec{n_2}\|}\).

Застосуємо властивість проекцій векторів, яка каже, що \(|\vec{AB}| \cdot \cos{\theta}\) - проекція вектора \(\vec{AB}\) на вектор \(\vec{AC}\), тоді \(|\vec{AB}| \cdot \cos{\theta} = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AC}|}\).

Застосуємо це до векторів \(\vec{AB}\) і \(-\vec{AC}\):

\(t = \frac{|\vec{AB}| \cdot \cos{\theta}}{\|\vec{n_1}\| \cdot \|\vec{n_2}\|}\).

Тому:

\(\cos{\theta} = \frac{t \cdot \|\vec{n_1}\| \cdot \|\vec{n_2}\|}{|\vec{AB}|}\).

Підставимо відомі значення:

\(\cos{\theta} = \frac{\frac{\vec{AB} - \vec{AC}}{\|\vec{n_1}\| \cdot \|\vec{n_2}\|} \cdot \|\vec{n_1}\| \cdot \|\vec{n_2}\|}{|\vec{AB}|}\).

Спростимо вираз:

\(\cos{\theta} = \frac{\vec{AB} - \vec{AC}}{|\vec{AB}|}\).

Врахуємо, що косинус кута між векторами визначається як \(\cos{\theta} = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|}\), тому:

\(\frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{\vec{AB} - \vec{AC}}{|\vec{AB}|}\).

Розділимо обидві частини на \(|\vec{AB}|\):

\(\frac{\vec{AC}}{|\vec{AC}|} - \frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|} = \frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|} - \frac{\vec{AC}}{|\vec{AC}|}\).

Скасуємо рівні доданки:

\(0 = 0\).

Отже, ми довели, що кут між площинами двох трикутників дорівнює 0 градусів, що означає, що ці площини паралельні.