Заполните таблицу, где a4 представляет собой сторону квадрата, а R и r - радиусы соответственно описанной и вписанной

Хорошо, начнем с заполнения таблицы. Нам даны сторона квадрата \(a_4\) и радиусы описанной окружности \(R\) и вписанной окружности \(r\).

| Переменная | Значение |
|----------|----------|
| \(a_4\) | |
| \(R\) | |
| \(r\) | |

Для начала, давайте разберемся с радиусом описанной окружности \(R\). Описанная окружность проходит через все вершины квадрата. Для определения радиуса описанной окружности есть связь с диагональю квадрата \(d\), которую мы можем использовать:

\[ 2R = d \]

Так как сторона квадрата \(a_4\) является диагональю, мы можем записать:

\[ 2R = a_4 \]

Теперь у нас есть значение радиуса описанной окружности \(R\). Заполним это значение в таблице:

| Переменная | Значение |
|----------|----------|
| \(a_4\) | |
| \(R\) | \(\frac{a_4}{2}\) |
| \(r\) | |


Следующий шаг - определить радиус вписанной окружности \(r\). Вписанная окружность касается всех сторон квадрата. Для определения радиуса вписанной окружности есть связь с полупериметром \(p\):

\[ 2r = p \]

Мы можем найти полупериметр, сложив все стороны квадрата:

\[ p = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 \]

Так как все стороны квадрата одинаковые, мы можем записать:

\[ p = 4a_4 \]

Теперь у нас есть значение полупериметра \(p\). Делим его на 2, чтобы найти радиус вписанной окружности \(r\):

\[ 2r = \frac{p}{2} = \frac{4a_4}{2} = 2a_4 \]

Заполним это значение в таблице:

| Переменная | Значение |
|----------|----------|
| \(a_4\) | |
| \(R\) | \(\frac{a_4}{2}\) |
| \(r\) | \(2a_4\) |

Наконец, мы пришли к важному шагу - определению значения стороны квадрата \(a_4\). Для этого нам понадобятся связи между радиусами и стороной квадрата.

Из рисунка можно заметить, что диаметр описанной окружности равен диагонали квадрата \(d\), а диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата \(a_4\). Таким образом, мы можем записать:

\[ d = a_4 \]

Также, у нас есть связь между радиусами и диагоналями окружностей:

\[ 2R = d \]
\[ 2r = d \]

Подставив значения диагонали, получаем:

\[ 2R = a_4 \]
\[ 2r = a_4 \]

Решим последние два уравнения относительно \(a_4\):

\[ a_4 = 2R \]
\[ a_4 = 2r \]

Заметим, что согласно вписанному и описанному кругу, радиусы \(r\) и \(R\) прямо пропорционально стороне квадрата \(a_4\).

Исходя из этого, можно заключить, что второе уравнение \(a_4 = 2r\) верно, так как радиус вписанной окружности \(r\) равен \(2a_4\).

Поэтому заполняем таблицу:

| Переменная | Значение |
|----------|----------|
| \(a_4\) | \(2r\) |
| \(R\) | \(\frac{a_4}{2}\) |
| \(r\) | \(2a_4\) |

Таким образом, мы заполнили таблицу, учитывая связь между стороной квадрата \(a_4\) и радиусами описанной \(R\) и вписанной \(r\) окружностей.