Запишите уравнение прямой, проходящей через точку M0(7,8) перпендикулярно заданной прямой 42x+3y+5=0. В ответе укажите

Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через точку \( M_0(7,8) \) и перпендикулярной данной прямой \( 42x+3y+5=0 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдем угловой коэффициент данной прямой. Для этого преобразуем уравнение данной прямой \( 42x+3y+5=0 \) к виду \( y = mx + c \), где \( m \) - угловой коэффициент. Перепишем уравнение в такой форме:

\[ 3y = -42x - 5 \]
\[ y = -\frac{42}{3}x - \frac{5}{3} \]
\[ y = -14x - \frac{5}{3} \]

Следовательно, угловой коэффициент прямой равен \( -14 \).

2. Поскольку искомая прямая перпендикулярна данной прямой, то ее угловой коэффициент равен обратному отношению и с противоположным знаком:

\[ m_{\text{иск}} = -\frac{1}{m} = -\left(-\frac{1}{14}\right) = \frac{1}{14} \]

Теперь мы знаем угловой коэффициент искомой прямой.

3. Используя найденный угловой коэффициент и точку \( M_0(7,8) \), мы можем записать уравнение искомой прямой в виде:

\[ y - y_0 = m_{\text{иск}}(x - x_0) \]
\[ y - 8 = \frac{1}{14}(x - 7) \]
\[ 14(y - 8) = x - 7 \]
\[ 14y - 112 = x - 7 \]
\[ x - 14y + 105 = 0 \]

Таким образом, уравнение искомой прямой, проходящей через точку \( M_0(7,8) \) и перпендикулярной данной прямой, имеет вид \( x - 14y + 105 = 0 \).

4. Теперь, когда у нас есть уравнение искомой прямой, мы можем использовать его для дальнейших вычислений. Чтобы найти длину отрезка, который данная прямая отсекает, нужно найти расстояние между точкой \( M_0(7,8) \) и исходной прямой \( 42x+3y+5=0 \).

\[ \text{Расстояние} = \frac{\left|42\cdot7 + 3\cdot8 + 5\right|}{\sqrt{42^2 + 3^2}} \]
\[ \text{Расстояние} = \frac{\left|294 + 24 + 5\right|}{\sqrt{1764 + 9}} \]
\[ \text{Расстояние} = \frac{323}{\sqrt{1773}} \]
\[ \text{Расстояние} \approx \frac{323}{42.12} \]
\[ \text{Расстояние} \approx 7.66 \]

Следовательно, искомая прямая отсекает отрезок длиной приблизительно \( 7.66 \) единиц.