Запишіть число 180 у вигляді трьох доданків таким чином, щоб їх добуток був максимальним, причому два з цих доданків

Для решения этой задачи нам нужно разложить число 180 на три слагаемых таким образом, чтобы их произведение было максимальным, и одно из этих слагаемых относилось к другому, как 1:2.

Пусть первое слагаемое будет равно x. Тогда второе слагаемое будет равно 2x, так как они должны относиться как 1:2. Третье слагаемое обозначим как y.

Теперь мы можем записать уравнение, учитывая условия задачи:
x + 2x + y = 180

Суммируя слагаемые, получаем:
3x + y = 180

Чтобы найти наибольшее значение x, мы должны максимизировать произведение (x * 2x * y). Для этого подставим y = 180 - 3x в выражение:

x * 2x * (180 - 3x)

Теперь у нас есть функция одной переменной, которую нужно максимизировать. Для нахождения максимального значения можно использовать метод нахождения экстремумов, а именно взять производную от этой функции и приравнять ее к нулю:

\(\dfrac{d}{dx}(2x^2(180 - 3x)) = 0\)

Дифференцируя это выражение, получаем:
\(4x(180 - 3x) + 2x^2(-3) = 0\)

Раскрыв скобки и упростив, имеем:
\(720x - 12x^2 - 6x^2 = 0\)

Объединяя подобные слагаемые, получаем:
\(18x^2 - 720x = 0\)

Поделим на 18, чтобы упростить:
\(x^2 - 40x = 0\)

Теперь выражение можно факторизовать:
\(x(x - 40) = 0\)

Отсюда мы видим два возможных значения x: x = 0 или x = 40.

Очевидно, что x = 0 не является допустимым ответом, поскольку одно из слагаемых должно быть ненулевым. Таким образом, x = 40.

Теперь мы можем найти остальные слагаемые, используя условие, что одно слагаемое равно 2 * первому слагаемому:
первое слагаемое = x = 40
второе слагаемое = 2 * первое слагаемое = 2 * 40 = 80
третье слагаемое = 180 - (первое слагаемое + второе слагаемое) = 180 - (40 + 80) = 60

Таким образом, искомое представление числа 180 в виде суммы трех слагаемых с максимальным произведением будет 40 + 80 + 60 = 180.