Задано: abcd — параллелограмм, bc имеет длину 2 см, ba имеет длину 9 см, и угол ∡b равен 45°. Необходимо найти площадь

Здравствуйте! Для решения этой задачи нам понадобятся знания о площади параллелограмма и треугольника. Давайте рассмотрим подробное решение.

Первым шагом нам нужно найти площадь треугольника ABC. Для этого мы можем использовать формулу, которая основана на длинах сторон треугольника и синусе угла между этими сторонами. Формула имеет следующий вид:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle B) \]

где S - площадь треугольника, AB и BC - длины сторон треугольника, а \(\angle B\) - угол между этими сторонами.

Из условия задачи мы знаем, что сторона BC имеет длину 2 см, сторона BA (то есть AB) имеет длину 9 см, а угол \(\angle B\) равен 45°.

Подставляя значения в формулу, получим:

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 2 \cdot \sin(45°) \]

Теперь нам нужно рассчитать значение синуса 45°. Синус 45° равен \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Подставляя значение синуса и упрощая выражение, получим:

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Упрощая, получим:

\[ S_{ABC} = 9 \cdot \sqrt{2} \]

Таким образом, площадь треугольника ABC равна \(9 \cdot \sqrt{2}\) квадратных сантиметров.

Теперь перейдем к расчету площади параллелограмма ABCD.

Площадь параллелограмма равна произведению длины одной из его сторон и высоты, опущенной на эту сторону.

Мы знаем, что длина стороны BC равна 2 см. Теперь нам нужно найти высоту параллелограмма, опущенную на эту сторону.

Высота параллелограмма, опущенная на сторону BC, равна длине перпендикуляра, опущенного из вершины A на сторону BC. Обозначим эту высоту как h.

Так как параллелограмм ABCD — параллелограмм, то сторона AD параллельна стороне BC. Из этого следует, что \(\angle ADC\) равен 180° - \(\angle B\), то есть 180° - 45° = 135°.

Теперь у нас есть два угла треугольника ACD. Один из них, \(\angle D\), равен 90°, так как AD — перпендикуляр к стороне BC.

Используя сумму углов треугольника, можем найти третий угол треугольника ACD: 180° - 90° - 135° = -45°.

Обратите внимание, что полученный угол отрицательный, потому что он образует угол с вектором, направленным в противоположную сторону. Однако синусы положительного и отрицательного углов равны, поэтому мы можем использовать синус -45°.

Итак, нам нужно найти высоту h и длину стороны AD треугольника ACD. Затем мы сможем найти площадь параллелограмма ABCD.

Для нахождения высоты h мы можем использовать формулу для площади треугольника ACD. Подставив известные значения, получим:

\[ S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h \cdot \sin(\angle D) \]

Угол \(\angle D\) равен -45°, а синус -45° равен \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Вспомним, что угол CDA = 90°, поэтому треугольник ACD - прямоугольный.

Из этого следует, что \(\sin(\angle D) = \sin(90° - 45°) = \sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Подставив значения в формулу, мы получим:

\[ S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Упростим выражение:

\[ S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Выразим высоту h:

\[ h = \frac{2 \cdot S_{ACD}}{AD \cdot \sqrt{2}} \]

Теперь мы должны найти длину стороны AD треугольника ACD. Для этого мы можем использовать теорему косинусов. Формула для нахождения стороны AD:

\[ AD = \sqrt{AB^2 + BD^2 - 2 \cdot AB \cdot BD \cdot \cos(\angle B)} \]

Из условия задачи известно, что AB = 9 см и BD = BC = 2 см. Угол \(\angle B\) равен 45°.

Подставив значения в формулу и упростив, получим:

\[ AD = \sqrt{9^2 + 2^2 - 2 \cdot 9 \cdot 2 \cdot \cos(45°)} \]

Теперь у нас есть значения высоты h и длины стороны AD. Мы можем рассчитать площадь параллелограмма ABCD по формуле:

\[ S_{ABCD} = AD \cdot h \]

Подставим значения и выполним расчет:

\[ S_{ABCD} = \frac{2 \cdot S_{ACD}}{AD \cdot \sqrt{2}} \cdot AD \]

Выражение упростится:

\[ S_{ABCD} = 2 \cdot S_{ACD} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Таким образом, площадь параллелограмма ABCD равна \(2 \cdot S_{ACD} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\) квадратных сантиметров, что соответствует \(2 \cdot \sqrt{2}\) квадратных сантиметров.

Подведем окончательные итоги решения задачи:

- Площадь треугольника ABC составляет \(9 \cdot \sqrt{2}\) квадратных сантиметров.
- Площадь параллелограмма ABCD равна \(2 \cdot \sqrt{2}\) квадратных сантиметров.

Надеюсь, это подробное объяснение помогло Вам понять, как решать данный тип задач и как получить конечный ответ. Если у Вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их! Я всегда готов помочь.