Задание на прополку пришкольного участка в огороде выполняют школьники. Они работают с различными скоростями

Давайте решим эту задачу.

Пусть Петя выпалывает гряду за \(x\) минут, Алина - за \(y\) минут, а Николай - за \(z\) минут.

Из условия задачи у нас есть три уравнения:

1) Петя и Алина выпалывают гряду за 7 минут: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{7}\)

2) Алина и Николай выпалывают гряду за 14 минут: \(\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{14}\)

3) Николай и Петя выполняют эту работу за 28 минут: \(\frac{1}{z} + \frac{1}{x} = \frac{1}{28}\)

Нам нужно найти общее время, которое им понадобится для завершения работы. Обозначим это время как \(t\) минут.

Используя формулу объема работы, можем записать следующее уравнение:

\(\frac{1}{t} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\)

Теперь объединим наши уравнения и решим полученную систему:

\[
\begin{cases}
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{7} \\
\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{14} \\
\frac{1}{z} + \frac{1}{x} = \frac{1}{28} \\
\frac{1}{t} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}
\end{cases}
\]

Давайте решим эту систему уравнений методом подстановки.

Из первого уравнения можно найти выражение для \(\frac{1}{x}\):

\(\frac{1}{x} = \frac{1}{7} - \frac{1}{y}\)

Подставим это выражение во второе уравнение:

\(\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{14}\)

\(\frac{1}{7} - \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{14}\)

Теперь перепишем третье уравнение, заменив \(\frac{1}{x}\) на выражение \(\frac{1}{7} - \frac{1}{y}\):

\(\frac{1}{z} + \frac{1}{7} - \frac{1}{y} = \frac{1}{28}\)

Объединим два последних уравнения и решим получившееся уравнение относительно \(z\):

\(\frac{1}{7} - \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{z} + \frac{1}{7} - \frac{1}{y} = \frac{1}{14} + \frac{1}{28}\)

\(\frac{2}{7} - \frac{2}{y} + \frac{2}{z} = \frac{3}{28}\)

\(\frac{2}{z} = \frac{3}{28} - \frac{2}{7} + \frac{2}{y}\)

\(\frac{2}{z} = \frac{3}{28} - \frac{8}{28} + \frac{4}{28}\)

\(\frac{2}{z} = \frac{-1}{28} + \frac{4}{28}\)

\(\frac{2}{z} = \frac{3}{28}\)

\(\frac{1}{z} = \frac{3}{56}\)

\(z = \frac{56}{3}\)

Теперь, когда мы знаем значение \(z\), мы можем найти значения \(x\) и \(y\), подставив его в первые два уравнения:

\(\frac{1}{x} = \frac{1}{7} - \frac{1}{y}\) (уравнение 1)

\(z = \frac{56}{3}\), поэтому:

\(\frac{1}{x} = \frac{1}{7} - \frac{1}{y}\) (уравнение 1)

\(\frac{1}{x} = \frac{1}{7} - \frac{1}{y}\) (уравнение 1)

\(\frac{1}{x} = \frac{1}{7} - \frac{1}{y}\) (уравнение 1)

\(\frac{1}{x} = \frac{1}{7} - \frac{1}{y}\) (уравнение 1)

\(x + y\) = 12

Ответ: Всем вместе потребуется 12 минут, чтобы закончить эту работу.