Задание 3. Предположим, что планеты Солнечной системы двигаются вокруг Солнца в круговых орбитах. Вычислите

Чтобы вычислить продолжительность "года" для планеты, мы можем использовать третий закон Кеплера, который гласит: "Квадрат периода орбиты планеты пропорционален кубу большой полуоси орбиты".

Первым шагом нам необходимо вычислить полуось орбиты планеты. В данной задаче нам дано, что расстояние от Солнца до Сатурна составляет 9,539 астрономических единиц (а.е.). Так как более точные единицы измерения не указаны, мы будем использовать данное значение.

Теперь, мы можем записать третий закон Кеплера в математической форме:

\[ T^2 = k \cdot r^3 \]

где:
\( T \) - период орбиты планеты (в данном случае - продолжительность "года")
\( k \) - постоянная пропорциональности (неизвестная)
\( r \) - большая полуось орбиты планеты

Для решения задачи мы должны найти \( T \). Так как у нас мало информации, то мы не сможем найти его точное значение, но мы можем найти отношение \( T \) к периоду Земли, который составляет 1 год или 365 дней.

Таким образом, мы можем записать следующее:

\[ T = k \cdot r^{3/2} \]

Теперь, чтобы найти \( k \), мы можем использовать известное значение периода орбиты Земли. Подставим значения \( T = 1 \) (период Земли) и \( r = 1 \) (большая полуось орбиты Земли) в уравнение выше:

\[ 1 = k \cdot 1^{3/2} \]
\[ 1 = k \]

Таким образом, мы получаем, что постоянная пропорциональности \( k = 1 \).

Теперь, когда у нас есть \( k \), мы можем использовать его для вычисления продолжительности "года" для планеты Сатурн.

Подставим значение \( k = 1 \) и \( r = 9,539 \) (большая полуось орбиты Сатурна) в уравнение:

\[ T = 1 \cdot 9,539^{3/2} \]

Вычислим это значение:

\[ T = 1 \cdot 9,539^{3/2} \approx 29,63 \]

Таким образом, продолжительность "года" для планеты Сатурн составляет примерно 29,63 лет.

Важно отметить, что данный результат является приближенным и зависит от точности измерений и предоставленной информации.