Задание: 1. Создайте планарный граф, содержащий а) 6; б) 7; в) 8; г) 9; вершин, таким образом, чтобы некоторые

Хорошо, давайте начнем с задания номер 1.

а) Для создания планарного графа с 6 вершинами и пересекающимися ребрами, мы можем использовать следующую структуру:
\[A -- B -- C -- D -- E -- F -- A\]
В этом графе все шесть вершин \(A, B, C, D, E\) и \(F\) соединены друг с другом поочередно.

б) Для планарного графа с 7 вершинами и пересекающимися ребрами, мы можем использовать следующую структуру:
\[A -- B -- C -- D -- E -- F -- G -- A\]
Этот граф состоит из семи вершин \(A, B, C, D, E, F\) и \(G\), также подключенных друг к другу поочередно.

в) Для планарного графа с 8 вершинами и пересекающимися ребрами, одним из вариантов может быть следующая структура:
\[A -- B -- C -- D -- E -- F -- G -- H -- A\]
В этом графе все восемь вершин \(A, B, C, D, E, F, G\) и \(H\) связаны друг с другом поочередно.

г) Для планарного графа с 9 вершинами и пересекающимися ребрами, мы можем использовать следующую структуру:
\[A -- B -- C -- D -- E -- F -- G -- H -- I -- A\]
В этом графе все девять вершин \(A, B, C, D, E, F, G, H\) и \(I\) связаны друг с другом поочередно.

Теперь перейдем к заданию номер 2.

Для построения плоского графа, представляющего граф из предыдущего задания, мы можем использовать следующие шаги:

1. Нарисовать окружность и расположить вершины графа на этой окружности в соответствии с их порядковыми номерами.
2. Соединить вершины ребрами, соблюдая порядок, в котором они указаны в предыдущих заданиях.

Таким образом, плоский граф будет выглядеть следующим образом, где \(a, b, c, d, e, f, g\) и \(h\) соответствуют вершинам графа из предыдущего задания:
\[a -- b -- c -- d -- e -- f -- g -- h -- a\]

Перейдем теперь к заданию номер 3.

Для построения двойственного графа к геометрическому графу из задания 2, мы можем использовать следующие шаги:
1. Для каждой грани в плоском графе (круговой области ограниченной ребрами), создать новую вершину в двойственном графе.
2. Соединить вершины двойственного графа, если соответствующие грани в плоском графе имеют общую сторону.

В результате, двойственный граф будет выглядеть следующим образом:
\[A -- B -- C -- D -- E -- F -- G -- H -- A\]
где \(A, B, C, D, E, F, G\) и \(H\) - вершины двойственного графа.

Перейдем наконец к заданию номер 4.

Докажем, что граф \(K5\) не имеет графа-двойника в абстрактном смысле.

Для этого нам необходимо рассмотреть свойство графа-двойника в абстрактном смысле. Если граф \(G\) является графом-двойником для графа \(H\), то:
1. Число вершин в \(G\) равно числу ребер в \(H\).
2. Число ребер в \(G\) равно числу вершин в \(H\).
3. Граф \(G\) и \(H\) должны иметь одинаковое число треугольников.

В графе \(K5\) (его ребра обозначены \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\)), мы имеем 5 вершин и 10 ребер. Теперь рассмотрим возможные варианты графов-двойников:

1. Если вершина графа-двойника будет соответствовать ребру графа \(K5\), то число вершин будет равно 10, что противоречит первому свойству графа-двойника.

2. Если вершина графа-двойника будет соответствовать вершине графа \(K5\), то число вершин графа-двойника будет равно 5, что также противоречит первому свойству графа-двойника.

Таким образом, невозможно создать граф-двойник для графа \(K5\) в абстрактном смысле.