Задание 1. Распределение вероятностей дискретной случайной величины X задано следующим образом: X: 10; 12; 15

Хорошо, давайте разберем задание пошагово.

1) Найдем значение неизвестного числа а. Вероятности служат мерой относительной частоты возникновения значений случайной величины, поэтому сумма всех вероятностей должна быть равна 1. Давайте сложим все вероятности:

\[0.2 + 0.2 + 0.4 + 0.1 + а = 1\]

Теперь перенесем а на другую сторону уравнения и решим:

\[а = 1 - 0.2 - 0.2 - 0.4 - 0.1 = 0.1\]

Таким образом, значение неизвестного числа а равно 0.1.

2) Теперь давайте построим график многоугольника распределения. На горизонтальной оси отложены значения случайной величины X, а на вертикальной - соответствующие вероятности. Мы имеем следующие значения:

\[X: 10, 12, 15, 17, 21\]
\[p: 0.2, 0.2, 0.4, 0.1, 0.1\]

На графике отметим эти значения и соединим точки линиями:

\[
\begin{array}{cccccc}
X & 10 & - & 12 & - & 15 & - & 17 & - & 21 \\
p & - & 0.2 & - & 0.2 & - & 0.4 & - & 0.1 & - & 0.1 \\
\end{array}
\]

Здесь "-" обозначает промежуток между значениями. Получаем график в виде многоугольника.

3) Теперь определим функцию распределения \(F(x)\). Функция распределения возвращает вероятность того, что случайная величина не превысит определенное значение x. Для этого нужно сложить все вероятности, соответствующие значениям, меньшим или равным x.

Для нашей задачи значения такие:

\[x \leq 10 \Rightarrow F(x) = 0.2\]
\[10 < x \leq 12 \Rightarrow F(x) = 0.2 + 0.2 = 0.4\]
\[12 < x \leq 15 \Rightarrow F(x) = 0.4 + 0.4 = 0.8\]
\[15 < x \leq 17 \Rightarrow F(x) = 0.8 + 0.1 = 0.9\]
\[17 < x \leq 21 \Rightarrow F(x) = 0.9 + 0.1 = 1.0\]

График функции распределения будет состоять из отрезков, соединяющих эти значения.

4) Теперь вычислим математическое ожидание \(M(X)\), дисперсию \(D(X)\) и среднее квадратическое отклонение. Определим каждую из этих величин:

Математическое ожидание \(M(X)\) определяется как сумма произведений значений X на их вероятности. В нашем случае:

\[M(X) = 10 \cdot 0.2 + 12 \cdot 0.2 + 15 \cdot 0.4 + 17 \cdot 0.1 + 21 \cdot 0.1\]

Выполним вычисления:

\[M(X) = 2 + 2.4 + 6 + 1.7 + 2.1 = 14.2\]

Дисперсия \(D(X)\) определяется как сумма произведений разности значений X и математического ожидания в квадрате на их вероятности. В нашем случае:

\[D(X) = (10 - 14.2)^2 \cdot 0.2 + (12 - 14.2)^2 \cdot 0.2 + (15 - 14.2)^2 \cdot 0.4 + (17 - 14.2)^2 \cdot 0.1 + (21 - 14.2)^2 \cdot 0.1\]

Выполним вычисления:

\[D(X) = 17.64 \cdot 0.2 + 4.84 \cdot 0.2 + 0.16 \cdot 0.4 + 7.84 \cdot 0.1 + 46.24 \cdot 0.1 = 6.782\]

Среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии:

\[\sqrt{D(X)} = \sqrt{6.782} \approx 2.605\]

Таким образом, математическое ожидание \(M(X)\) равно 14.2, дисперсия \(D(X)\) равна 6.782, и среднее квадратическое отклонение примерно равно 2.605.

Надеюсь, объяснение было подробным и понятным! Если у вас возникнут еще вопросы или возникнет необходимость в дополнительном объяснении, пожалуйста, сообщите мне.