Задан равносторонний треугольник ABC, в котором проведены высоты AN, BK и CM, пересекающиеся в точке O. Используя

Для решения этой задачи рассмотрим каждый пункт по отдельности.

1. Если $AC\overrightarrow{\to }=k\cdot CK\overrightarrow{\to }$, то значение $k$ равно:

Поскольку треугольник ABC равносторонний, все его стороны равны между собой. Это означает, что $AC=BC=AB$. Также известно, что высоты AN, BK и CM проведены из вершин треугольника и пересекаются в точке O.

Высота CN является медианой треугольника ABC и делит сторону AB пополам. Таким образом, $CN=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}AC$.

Следовательно, $CK=AC-CN=AC-\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}AC$.

Таким образом, $k=\frac{AC}{CK}=\frac{AC}{\frac{1}{2}AC}=2$.

Ответ: $k=2$.

2. Если $OA\overrightarrow{\to }=m\cdot ON\overrightarrow{\to }$, то значение $m$ равно:

Поскольку О - точка пересечения высот треугольника, то точка О является одновременно центром окружности, описанной вокруг треугольника АВС. Также известно, что высота AM делит сторону BC пополам.

Поэтому точка O лежит на медиане CN. Это означает, что $ON=\frac{1}{2}CN=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}AC=\frac{1}{4}AC$.

Таким образом, $m=\frac{OA}{ON}=\frac{OA}{\frac{1}{4}AC}=4OA$.

Ответ: $m=4$.

3. Если $MA\overrightarrow{\to }=n\cdot BA\overrightarrow{\to }$, то значение $n$ равно:

Поскольку О - точка пересечения высот треугольника, то точка О является одновременно центром окружности, описанной вокруг треугольника АВС. Также известно, что высота BK делит сторону AC пополам.

Поэтому точка O лежит на медиане AN. Это означает, что $ON=\frac{1}{2}AN=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}AC$.

Следовательно, $MA=AN-AM=AN-\frac{1}{2}AN=\frac{1}{2}AN$.

Таким образом, $n=\frac{MA}{BA}=\frac{\frac{1}{2}AN}{AB}=\frac{AN}{2AB}=\frac{1}{2}$.

Ответ: $n=\frac{1}{2}$.

4. Если $OK\overrightarrow{\to }=l\cdot OB\overrightarrow{\to }$, то значение $l$ равно:

Поскольку О - точка пересечения высот треугольника, то точка О является одновременно центром окружности, описанной вокруг треугольника АВС. Также известно, что высота CM делит сторону AB пополам.

Поэтому точка O лежит на медиане BN. Это означает, что $OB=2ON=2\cdot \frac{1}{4}AC=\frac{1}{2}AC$.

Следовательно, $OK=OB-CK=\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}AC=0$.

Таким образом, $l=\frac{OK}{OB}=\frac{0}{\frac{1}{2}AC}=0$.

Ответ: $l=0$.

Итак, значения переменных равны: $k=2$, $m=4$, $n=\frac{1}{2}$, $l=0$.