Задан равносторонний треугольник ABC, в котором проведены высоты AN, BK и CM, пересекающиеся в точке O. Используя

Для решения этой задачи рассмотрим каждый пункт по отдельности.

1. Если \(AC \vec{→} = k \cdot CK \vec{→}\), то значение \(k\) равно:

Поскольку треугольник ABC равносторонний, все его стороны равны между собой. Это означает, что \(AC = BC = AB\). Также известно, что высоты AN, BK и CM проведены из вершин треугольника и пересекаются в точке O.

Высота CN является медианой треугольника ABC и делит сторону AB пополам. Таким образом, \(CN = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}AC\).

Следовательно, \(CK = AC - CN = AC - \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}AC\).

Таким образом, \(k = \frac{AC}{CK} = \frac{AC}{\frac{1}{2}AC} = 2\).

Ответ: \(k = 2\).

2. Если \(OA \vec{→} = m \cdot ON \vec{→}\), то значение \(m\) равно:

Поскольку О - точка пересечения высот треугольника, то точка О является одновременно центром окружности, описанной вокруг треугольника АВС. Также известно, что высота AM делит сторону BC пополам.

Поэтому точка O лежит на медиане CN. Это означает, что \(ON = \frac{1}{2}CN = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}AC = \frac{1}{4}AC\).

Таким образом, \(m = \frac{OA}{ON} = \frac{OA}{\frac{1}{4}AC} = 4OA\).

Ответ: \(m = 4\).

3. Если \(MA \vec{→} = n \cdot BA \vec{→}\), то значение \(n\) равно:

Поскольку О - точка пересечения высот треугольника, то точка О является одновременно центром окружности, описанной вокруг треугольника АВС. Также известно, что высота BK делит сторону AC пополам.

Поэтому точка O лежит на медиане AN. Это означает, что \(ON = \frac{1}{2}AN = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}AC\).

Следовательно, \(MA = AN - AM = AN - \frac{1}{2}AN = \frac{1}{2}AN\).

Таким образом, \(n = \frac{MA}{BA} = \frac{\frac{1}{2}AN}{AB} = \frac{AN}{2AB} = \frac{1}{2}\).

Ответ: \(n = \frac{1}{2}\).

4. Если \(OK \vec{→} = l \cdot OB \vec{→}\), то значение \(l\) равно:

Поскольку О - точка пересечения высот треугольника, то точка О является одновременно центром окружности, описанной вокруг треугольника АВС. Также известно, что высота CM делит сторону AB пополам.

Поэтому точка O лежит на медиане BN. Это означает, что \(OB = 2ON = 2 \cdot \frac{1}{4}AC = \frac{1}{2}AC\).

Следовательно, \(OK = OB - CK = \frac{1}{2}AC - \frac{1}{2}AC = 0\).

Таким образом, \(l = \frac{OK}{OB} = \frac{0}{\frac{1}{2}AC} = 0\).

Ответ: \(l = 0\).

Итак, значения переменных равны: \(k = 2\), \(m = 4\), \(n = \frac{1}{2}\), \(l = 0\).