ЗАДАЧА 4 Каково отношение длины отрезка AP к длине отрезка MN в треугольнике ABC, где AB = BC, M - середина AB

Хорошо, давайте рассмотрим задачу 4.

В данной задаче у нас есть треугольник ABC, где AB = BC. Мы также знаем, что точка M является серединой отрезка AB, точка P является серединой отрезка CM, а точка N делит сторону BC в отношении 3:1, начиная от вершины B.

Чтобы найти отношение длины отрезка AP к длине отрезка MN, давайте рассмотрим каждый отрезок по отдельности.

Отношение длины отрезка AP к длине отрезка CM можно найти, используя теорему о делении отрезка внутренней точкой. Согласно этой теореме, отношение длины отрезка AP к длине отрезка CM равно отношению длины отрезка BM к длине отрезка BC.

Так как точка M является серединой отрезка AB, то отношение BM к BC будет равно 1:2.

Значит, отношение длины отрезка AP к длине отрезка CM также будет равно 1:2.

Теперь давайте рассмотрим отношение длины отрезка MN к длине отрезка BC. Мы знаем, что точка N делит сторону BC в отношении 3:1, начиная от вершины B. Это означает, что отношение длины отрезка BN к длине отрезка NC также будет равно 3:1.

Так как точка C является серединой отрезка AB, то отношение длины отрезка BC к длине отрезка NC равно 1:1.

Теперь мы можем рассчитать отношение длины отрезка MN к длине отрезка BC, умножив отношение длины отрезка MN к длине отрезка NC на отношение длины отрезка BC к длине отрезка NC.

Отношение длины отрезка MN к длине отрезка BC будет равно (3:1) * (1:1), то есть 3:1.

Итак, отношение длины отрезка AP к длине отрезка MN равно 1:2 : 3:1, что является эквивалентным 2:3.

Ответ: Отношение длины отрезка AP к длине отрезка MN равно 2:3.

Теперь рассмотрим задачу 5.

а) Нам нужно найти значение выражения \(2^{64} - (1+2+2^2 +2^3 +...+2^{63})\).

Для этого воспользуемся формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

\[S = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}\]

где \(S\) - сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(r\) - знаменатель прогрессии.

В данном случае у нас есть геометрическая прогрессия с первым членом \(a_1 = 1\) и знаменателем \(r = 2\).

Подставляя значения в формулу, получим:

\[S = \frac{1(1 - 2^{63})}{1 - 2}\]

Вычислив данное выражение, получим значение суммы первых \(63\) членов геометрической прогрессии.

Затем вычитаем полученную сумму из \(2^{64}\) чтобы найти значение выражения \(2^{64} - (1+2+2^2 +2^3 +...+2^{63})\).

Подставляя значения в выражение, получаем:

\[2^{64} - (1+2+2^2 +2^3 +...+2^{63}) = 2^{64} - S\]

Теперь можем рассчитать значение данного выражения:

\[2^{64} - S = 2^{64} - \frac{1(1 - 2^{63})}{1 - 2}\]

\[2^{64} - S = 2^{64} - (1 - 2^{63})\]

\[2^{64} - S = 2^{64} - 1 + 2^{63}\]

\[2^{64} - S = 2^{63} + 2^{64} - 1\]

Путем сложения и упрощения получим:

\[2^{64} - S = 2(2^{63}) - 1\]

\[2^{64} - S = 2^{64} - 1\]

Ответ: Значение выражения \(2^{64} - (1+2+2^2 +2^3 +...+2^{63})\) равно \(2^{64} - 1\).