За сколько лет численность перепёлок в заповеднике достигнет значения 250 процентов от исходного уровня, если

Чтобы решить эту задачу, мы будем использовать формулу экспоненциального роста.

Из условия задачи нам известно, что численность перепёлок каждый год увеличивается на 20 процентов. Пускай \( P \) будет исходное количество перепёлок в заповеднике, и пусть \( t \) будет количество лет.

На первый год численность перепёлок будет равна \( P + 20\%P \), что эквивалентно \( P + 0.2P \). Это можно записать как \( P(1 + 0.2) \).

На второй год численность перепёлок будет равна \( (P + 0.2P)(1 + 0.2) \).

На третий год численность перепёлок будет равна \( [(P + 0.2P)(1 + 0.2)](1 + 0.2) \).

И так далее.

Общая формула для \( t \) лет будет выглядеть следующим образом:

\[ P(1 + 0.2)^t \]

Так как мы хотим найти количество лет, через которое численность перепёлок достигнет значения 250 процентов от исходного уровня, у нас есть следующее уравнение:

\[ P(1 + 0.2)^t = 250\%P \]

Чтобы найти значение \( t \), нужно сначала представить 250 процентов в виде десятичной дроби. 250 процентов эквивалентны 2.5.

Теперь у нас есть следующее уравнение:

\[ P(1 + 0.2)^t = 2.5P \]

Cократим P с обеих сторон:

\[ (1 + 0.2)^t = 2.5 \]

Теперь возьмем логарифм от обеих сторон, чтобы избавиться от степени:

\[ \log((1 + 0.2)^t) = \log(2.5) \]

Используя свойства логарифмов, можем применить умножение перед логарифмированием для получения значения t:

\[ t\log(1 + 0.2) = \log(2.5) \]

И, наконец, делим обе стороны на \(\log(1 + 0.2)\) :

\[ t = \frac{{\log(2.5)}}{{\log(1 + 0.2)}} \]

Таким образом, мы получили формулу для определения количества лет, через которое численность перепёлок достигнет значения 250 процентов от исходного уровня. Если вы подставите исходное значение \( P \), вы сможете найти конечное значение \( t \).