Яку суму натуральних чисел, що діляться на 9 і є меншими за 120, потрібно знайти?

Щоб знайти суму натуральних чисел, які діляться на 9 та менші за 120, нам знадобиться скористатися формулою для суми арифметичної прогресії.

Формула для суми арифметичної прогресії:
\[S = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\]

де \(S\) - сума прогресії, \(n\) - кількість членів прогресії, \(a_1\) - перший член прогресії, \(a_n\) - останній член прогресії.

Почнемо з визначення кількості чисел, що задовольняють умову. Щоб число було менше за 120 та ділилося на 9, ми повинні знайти найбільше натуральне число, яке задовольняє цій умові. Допустимо, це число буде \(a\).

Тепер ми можемо відновити арифметичну прогресію від 9 до \(a\) з кроком 9. Очевидно, що перший член прогресії \(a_1 = 9\), а кількість чисел в прогресії \(n = \frac{a-9}{9} + 1\), оскільки нам треба врахувати і останнє число.

Тепер ми можемо обчислити останній член прогресії \(a_n = a\), оскільки ми припускали, що \(a\) є найбільшим числом, що задовольняє умову.

Тепер, знаючи значення \(a_1\), \(a_n\) та \(n\), ми можемо використовувати формулу для суми арифметичної прогресії для знаходження загальної суми.

Отже, сума натуральних чисел, що діляться на 9 та є меншими за 120, дорівнює:
\[S = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{\frac{a-9}{9} + 1}{2} (9 + a)\]

Залишається лише підставити значення \(a\) в цю формулу та обчислити суму. Наприклад, якщо \(a = 117\), то:
\[S = \frac{\frac{117-9}{9} + 1}{2} (9 + 117) = \frac{\frac{108}{9} + 1}{2} (9 + 117) = \frac{12 + 1}{2} \times 126 = 6 \times 126 = 756\]

Таким чином, сума натуральних чисел, які діляться на 9 та є меншими за 120, дорівнює 756.