Какой угол образуют диагонали четырёхугольника с вершинами в точках А(1; 5), В(4; 8), С(3;7), D(8;2)?

Чтобы найти угол между диагоналями четырёхугольника, нам понадобится использовать знания о геометрии и координатах точек.

Шаг 1: Найдите длины диагоналей.
Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками. Для первой диагонали, соединяющей точки A и C, формула будет выглядеть следующим образом:

\[d_1 = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]

Где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек A и C соответственно. Подставляя значения, получаем:

\[d_1 = \sqrt{{(3-1)^2 + (7-5)^2}} = \sqrt{{2^2 + 2^2}} = \sqrt{{8}}\]

Аналогичным образом найдем длину второй диагонали, соединяющей точки B и D:

\[d_2 = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]

\[d_2 = \sqrt{{(8-4)^2 + (2-8)^2}} = \sqrt{{4^2 + (-6)^2}} = \sqrt{{52}}\]

Шаг 2: Найдите значение косинуса угла между диагоналями.
Для этого воспользуемся формулой косинуса угла между векторами:

\[\cos{\theta} = \frac{{\mathbf{AB} \cdot \mathbf{CD}}}{{|\mathbf{AB}| \cdot |\mathbf{CD}|}}\]

Где \(\mathbf{AB}\) и \(\mathbf{CD}\) - вектора, соединяющие соответствующие точки.

Координаты вектора \(\mathbf{AB}\):
\((x_2 - x_1, y_2 - y_1) = (4-1, 8-5) = (3, 3)\)

Координаты вектора \(\mathbf{CD}\):
\((x_2 - x_1, y_2 - y_1) = (8-3, 2-7) = (5, -5)\)

Теперь вычислим значения для числителя и знаменателя в формуле косинуса угла:

\(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{CD} = 3 \cdot 5 + 3 \cdot (-5) = 0\)

\(|\mathbf{AB}| = \sqrt{{3^2 + 3^2}} = \sqrt{{18}}\)

\(|\mathbf{CD}| = \sqrt{{5^2 + (-5)^2}} = \sqrt{{50}}\)

Теперь подставим все полученные значения в формулу:

\(\cos{\theta} = \frac{{\mathbf{AB} \cdot \mathbf{CD}}}{{|\mathbf{AB}| \cdot |\mathbf{CD}|}} = \frac{{0}}{{\sqrt{{18}} \cdot \sqrt{{50}}}} = 0\)

Шаг 3: Найдите значение угла между диагоналями.
Так как косинус угла между векторами равен нулю, мы можем сделать вывод, что угол между диагоналями равен 90 градусов. Это означает, что диагонали четырёхугольника перпендикулярны друг другу.

Итак, угол между диагоналями четырёхугольника АВСD равен 90 градусов.