Яку площу має повна поверхня прямокутного паралелепіпеда, у якого основи мають розміри 2 см і 5 см, а діагональ меншої

Чтобы найти площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда, нам понадобится знать два параметра: периметр основы и высоту.

Начнем с вычисления периметра основы. У нас дано, что длины сторон основы равны 2 см и 5 см. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле \(P = 2a + 2b\), где \(a\) и \(b\) - длины сторон основы. В нашем случае это \(2 \cdot 2 + 2 \cdot 5 = 4 + 10 = 14\) см.

Теперь нам надо найти высоту параллелепипеда. Условие задачи указывает, что диагональ меньшей боковой грани образует угол 45° с плоскостью основы. Этот угол в нашем случае является прямым, так как мы имеем дело с прямоугольным параллелепипедом.

Проекция диагонали боковой грани на плоскость основы будет являться одной из сторон прямоугольника, который является основанием. Исходя из этого, высота параллелепипеда будет равна длине проекции диагонали на плоскость основы.

Так как у нас имеются прямые углы, треугольник, образованный прожекторной диагонали и сторонами основы, будет прямоугольным. Таким образом, нам нужно найти гипотенузу этого треугольника (признак того, что диагональ образует 45° с плоскостью основы).

Гипотенузу \(c\) прямоугольного треугольника можно найти с помощью теоремы Пифагора: \(c^2 = a^2 + b^2\), где \(a\) и \(b\) - катеты треугольника. В нашем случае катеты равны 2 см и 5 см, соответственно, \(c^2 = 2^2 + 5^2 = 4 + 25 = 29\).

Теперь вычислим длину гипотенузы: \(c = \sqrt{29} \approx 5,39\) см.

Так как нас интересует только длина проекции диагонали на плоскость основы, мы можем игнорировать величину основания, которое она проецирует, так как оно уже включено в периметр основы. Таким образом, нас интересует только высота треугольника, которая будет равна половине длины гипотенузы, так как этот треугольник прямоугольный.

Высота \(h\) будет равна \(h = \frac{c}{2} = \frac{5,39}{2} \approx 2,69\) см.

Теперь у нас есть все необходимые параметры для вычисления площади боковой поверхности. Формула для вычисления площади параллелепипеда с заданными параметрами выглядит следующим образом: \(S = P \cdot h\).

Подставляя полученные значения, получим: \(S = 14 \cdot 2,69 \approx 37,66\) см².

Таким образом, площадь боковой поверхности этого параллелепипеда составляет примерно 37,66 квадратных сантиметров.