Какова площадь полной поверхности тетраэдра со стороной, равной

Представим себе тетраэдр, который является одним из простейших трехмерных многогранников, состоящим из четырех треугольных граней. Для того чтобы найти площадь полной поверхности тетраэдра, нам необходимо вычислить суммарную площадь всех его граней.

В данной задаче сказано, что сторона тетраэдра равна \(a\). Для удобства обозначим ее также как \(\overline{AB}\). Продолжим сторону \(\overline{AB}\) до точки \(C\), и соединим точки \(C\) и \(D\) отрезком. Теперь у нас получатся четыре треугольника: \(\triangle ABC, \triangle ACD, \triangle ADB\) и треугольник \(CBD\).

Площадь треугольника можно вычислить, используя формулу Герона, которая для треугольника с известными сторонами \(a\), \(b\) и \(c\) имеет вид:

\[S = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}\]

где \(p\) - полупериметр треугольника, вычисляемый как \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\).

Так как мы знаем, что сторона всех треугольников равна \(a\), мы можем применить эту формулу для каждого треугольника и затем сложить их площади, чтобы получить площадь полной поверхности тетраэдра.

Давайте выполним рассчеты:

1. Вычислим площадь треугольника \(\triangle ABC\):
Полупериметр: \(p_1 = \frac{{a + a + a}}{2} = \frac{{3a}}{2}\)
Площадь треугольника: \(S_1 = \sqrt{p_1 \cdot (p_1 - a) \cdot (p_1 - a) \cdot (p_1 - a)} = \sqrt{\frac{3a}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2}} = \sqrt{\frac{27a^4}{64}}\)

2. Вычислим площадь треугольника \(\triangle ACD\):
Полупериметр: \(p_2 = \frac{{a + a + a}}{2} = \frac{{3a}}{2}\)
Площадь треугольника: \(S_2 = \sqrt{p_2 \cdot (p_2 - a) \cdot (p_2 - a) \cdot (p_2 - a)} = \sqrt{\frac{3a}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2}} = \sqrt{\frac{27a^4}{64}}\)

3. Вычислим площадь треугольника \(\triangle ADB\):
Полупериметр: \(p_3 = \frac{{a + a + a}}{2} = \frac{{3a}}{2}\)
Площадь треугольника: \(S_3 = \sqrt{p_3 \cdot (p_3 - a) \cdot (p_3 - a) \cdot (p_3 - a)} = \sqrt{\frac{3a}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2}} = \sqrt{\frac{27a^4}{64}}\)

4. Вычислим площадь треугольника \(\triangle CBD\):
Полупериметр: \(p_4 = \frac{{a + a + a}}{2} = \frac{{3a}}{2}\)
Площадь треугольника: \(S_4 = \sqrt{p_4 \cdot (p_4 - a) \cdot (p_4 - a) \cdot (p_4 - a)} = \sqrt{\frac{3a}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2}} = \sqrt{\frac{27a^4}{64}}\)

Теперь нам осталось сложить все полученные площади:

Площадь полной поверхности тетраэдра \(S_{\text{полн}} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = \sqrt{\frac{27a^4}{64}} + \sqrt{\frac{27a^4}{64}} + \sqrt{\frac{27a^4}{64}} + \sqrt{\frac{27a^4}{64}} = 4 \cdot \sqrt{\frac{27a^4}{64}}\)

Упростим выражение внутри корня:

\[S_{\text{полн}} = 4 \cdot \sqrt{\frac{27a^4}{64}} = 4 \cdot \frac{3a^2}{2\sqrt{2}} = \frac{6a^2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 6a^2\]

Итак, площадь полной поверхности тетраэдра со стороной \(a\) равна \(6a^2\).