Яку площу має основа циліндра, діагональ квадрату, що є розгорткою бічної поверхні циліндра, дорівнює

Давайте решим эту задачу пошагово.

Пусть основа цилиндра имеет площадь \(S_1\), а диагональ квадрата, которая также является разверткой боковой поверхности цилиндра, равна \(d\).

Шаг 1: Найдем сторону квадрата по его диагонали.
Квадрат - это особый случай прямоугольника, у которого все стороны равны. Поэтому, если диагональ квадрата равна \(d\), то каждая сторона квадрата будет иметь длину \(\frac{d}{\sqrt{2}}\). Заметим, что это следует из теоремы Пифагора.

Шаг 2: Найдем радиус окружности, описанной вокруг основы цилиндра.
Так как основа цилиндра является кругом, то его площадь равна \(\pi r^2\), где \(r\) - радиус окружности.

Шаг 3: Найдем радиус окружности, описанной вокруг боковой поверхности цилиндра.
Так как развернутая боковая поверхность цилиндра является квадратом, ее диагональю является \(d\). Заметим, что эта диагональ проходит через два радиуса окружности, поэтому она является диаметром окружности. То есть, радиус окружности равен \(\frac{d}{2}\).

Шаг 4: Найдем высоту цилиндра.
Высота цилиндра - это расстояние между основами. Если мы представим боковую поверхность цилиндра в виде развернутого квадрата, то его между сторонами будет равна высоте цилиндра. Так как сторона квадрата равна \(\frac{d}{\sqrt{2}}\), то и высота цилиндра будет равна \(\frac{d}{\sqrt{2}}\).

Шаг 5: Найдем площадь основы цилиндра.
Мы уже знаем, что площадь основы цилиндра равна \(\pi r^2\). Поэтому, чтобы найти площадь, нам необходимо найти радиус окружности.

Шаг 6: Найдем площадь боковой поверхности цилиндра.
Боковая поверхность цилиндра представляет собой прямоугольник, у которого одна сторона равна высоте цилиндра, а другая - периметру основы цилиндра. Периметр основы цилиндра равен \(2\pi r\), поэтому площадь боковой поверхности цилиндра будет равна \(2\pi r \cdot \frac{d}{\sqrt{2}}\).

Шаг 7: Найдем полную площадь поверхности цилиндра.
Полная площадь поверхности цилиндра равна сумме площади основы и боковой поверхности. То есть, полная площадь поверхности цилиндра равна \(\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{d}{\sqrt{2}}\).

Итак, мы получили выражение для площади поверхности цилиндра, используя основу и диагональ квадрата, который является разверткой боковой поверхности. Это выражение \(\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{d}{\sqrt{2}}\).