Каков угол В в треугольнике АВС, если координаты его вершин А, B и C равны соответственно (1;5;3), (3;3;2) и (3;6;5)?

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться теоремой о косинусах. Эта теорема позволяет нам найти длину одной из сторон треугольника, зная координаты его вершин. Затем мы можем использовать найденные длины сторон и опять же теорему о косинусах, чтобы определить значение угла В.

Начнем с вычисления длин сторон треугольника АВС. Для этого мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

\[AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}\]
\[AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2 + (z_C - z_A)^2}\]
\[BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2 + (z_C - z_B)^2}\]

Подставим значения координат:

\[AB = \sqrt{(3 - 1)^2 + (3 - 5)^2 + (2 - 3)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3\]
\[AC = \sqrt{(3 - 1)^2 + (6 - 5)^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3\]
\[BC = \sqrt{(3 - 3)^2 + (6 - 3)^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{0 + 9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\]

Теперь у нас есть длины всех сторон треугольника. Мы можем использовать теорему о косинусах, которая гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\angle C)\]

где \(a\), \(b\) и \(c\) - длины сторон треугольника, а \(\angle C\) - угол напротив стороны \(c\).

Применяя эту формулу к сторонам треугольника АВС, получаем:

\[(3\sqrt{2})^2 = 3^2 + 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot \cos(\angle В)\]

Упростим это уравнение:

\[18 = 9 + 9 - 18 \cdot \cos(\angle В)\]
\[18 = 18 - 18 \cdot \cos(\angle В)\]

Теперь можно решить это уравнение относительно \(\cos(\angle В)\):

\[18 \cdot \cos(\angle В) = 0\]
\[\cos(\angle В) = \frac{0}{18} = 0\]

Значение \(\cos(\angle В) = 0\) соответствует углу \(90^\circ\). Таким образом, угол В в треугольнике АВС равен \(90^\circ\).

Мы использовали формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве и теорему о косинусах, чтобы найти длины сторон треугольника и значение угла В. В результате наше решение показывает, что угол В равен \(90^\circ\).