Каковы значения высоты и катетов прямоугольного треугольника, если гипотенуза делится этой высотой на два отрезка

Давайте решим данную задачу.

Мы знаем, что гипотенуза прямоугольного треугольника делится высотой на два отрезка. Пусть один из этих отрезков имеет длину \( x \), а другой - \( y \).

Мы также знаем, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы по теореме Пифагора. Таким образом, у нас есть уравнение:

\[ x^2 + y^2 = 36^2 \]

Также мы можем использоваться то, что гипотенуза делится высотой на два отрезка. Используя подобные треугольники, мы можем записать пропорцию:

\[ \frac{x}{y} = \frac{y}{x+y} \]

Рассмотрим второе условие задачи. Запишем его в уравнении:

\[ \frac{x+y}{2x} = \frac{196}{36} \]

Давайте решим эти два уравнения системы методом подстановки.

Сначала, из второго уравнения найдем выражение для \( x+y \):

\[ \frac{x+y}{2x} = \frac{196}{36} \]
\[ \Rightarrow \quad x+y = \frac{2x \cdot 196}{36} \]
\[ \Rightarrow \quad x+y = \frac{196x}{18} \]
\[ \Rightarrow \quad 18(x+y) = 196x \]
\[ \Rightarrow \quad 18x + 18y = 196x \]
\[ \Rightarrow \quad 18y = 178x \]
\[ \Rightarrow \quad y = \frac{178}{18}x \]

Теперь подставим это выражение для \( y \) в первое уравнение:

\[ x^2 + \left(\frac{178}{18}x\right)^2 = 36^2 \]
\[ x^2 + \frac{178^2}{18^2}x^2 = 1296 \]
\[ x^2 + \frac{178^2}{18^2}x^2 = 1296 \]
\[ \frac{18^2 x^2 + 178^2 x^2}{18^2} = 1296 \]
\[ \frac{(18^2 + 178^2)x^2}{18^2} = 1296 \]
\[ (324 + 31684)x^2 = 18^2 \cdot 1296 \]
\[ 32008x^2 = 20736 \]
\[ x^2 = \frac{20736}{32008} \]
\[ x \approx \pm 0.644 \]

Так как у нас прямоугольный треугольник, длины сторон не могут быть отрицательными. Поэтому, мы берем положительное значение \( x \). Замечаем и второе число \( y = \frac{178}{18}x \).

Таким образом, значения высоты и катетов прямоугольного треугольника примерно равны: \( x \approx 0.644 \), \( y \approx 6.356 \).

Итак, высота треугольника составляет примерно 0.644, а значения катетов примерно 0.644 и 6.356 соответственно.