Яку область значень приймає функція y=5/x2-3x?

Очень хорошо! Для начала, давайте посмотрим на данную функцию:

\[y = \frac{5}{{x^2 - 3x}}\]

Чтобы понять, какую область значений принимает эта функция, нужно учесть два аспекта:

1) Знаменатель не может быть равен нулю, так как деление на ноль не определено. Следовательно, уравнение \(x^2 - 3x = 0\) должно иметь два корня, и они должны быть исключены из области значений.

2) Кроме того, нам нужно понять, какие значения может принимать функция при ненулевых знаменателях.

Начнем с первого аспекта. Решим уравнение \(x^2 - 3x = 0\) и найдем его корни:

\[x(x - 3) = 0\]

Таким образом, у нас есть два корня: \(x = 0\) и \(x = 3\). При этих значениях знаменатель равен нулю, что означает, что функция не определена в этих точках.

Теперь рассмотрим второй аспект. Для этого взглянем на знак выражения \(x^2 - 3x\) вне точек \(x = 0\) и \(x = 3\). Чтобы понять его знак, можно построить таблицу знаков или использовать метод интервалов.

Наши критические точки - это \(x = 0\) и \(x = 3\). Разделим прямую на три интервала: \((-\infty, 0)\), \((0, 3)\) и \((3, +\infty)\).

Возьмем произвольную точку из первого интервала, например, \(x = -1\). Подставим эту точку в выражение \(x^2 - 3x\):

\((-1)^2 - 3(-1) = 1 + 3 = 4\)

Таким образом, на интервале \((-\infty, 0)\) выражение \(x^2 - 3x\) положительное.

Теперь возьмем точку из второго интервала, например, \(x = 2\):

\(2^2 - 3(2) = 4 - 6 = -2\)

На интервале \((0, 3)\) выражение \(x^2 - 3x\) отрицательное.

И, наконец, возьмем точку из третьего интервала, например, \(x = 4\):

\(4^2 - 3(4) = 16 - 12 = 4\)

На интервале \((3, +\infty)\) выражение \(x^2 - 3x\) снова положительное.

Итак, у нас есть следующая информация:

- Функция не определена при \(x = 0\) и \(x = 3\).

- На интервале \((-\infty, 0)\) функция положительная.

- На интервале \((0, 3)\) функция отрицательная.

- На интервале \((3, +\infty)\) функция положительная.

Теперь давайте отразим эту информацию на области значений функции. Область значений - это множество всех возможных значений функции \(y\) при различных значениях переменной \(x\) на всех допустимых интервалах.

На интервале \((-\infty, 0)\) функция положительная, что означает, что \(y\) будет положительным. Поэтому в область значений входят все положительные числа.

На интервале \((0, 3)\) функция отрицательная, что означает, что \(y\) будет отрицательным. Область значений включает все отрицательные числа.

Наконец, на интервале \((3, +\infty)\) функция снова положительная, поэтому область значений включает все положительные числа.

Таким образом, область значений данной функции \(\frac{5}{{x^2 - 3x}}\) - это все положительные и отрицательные числа, кроме нуля, так как ноль не входит в допустимую область значений функции.