Пожалуйста, предложите аналитическое определение функции, которая является непрерывной на полуинтервале (0; 9] и имеет

Разумеется! Аналитическое определение функции, которое вы описали, можно представить следующим образом:

\[ f(x) = \begin{cases}
\frac{1}{\sqrt{x}} & \text{для }0 < x \leq 1 \\
\sqrt{x} & \text{для }1 < x \leq 9
\end{cases}
\]

Давайте разберемся почему данное определение функции соответствует заданным условиям.

Функция имеет график, состоящий из части гиперболы и части графика функции \(y = \sqrt{x}\). При этом, чтобы функция \(f(x)\) была непрерывной на полуинтервале (0; 9], необходимо учесть два аспекта:

1) Предполагается, что функция будет непрерывной внутри каждого из промежутков (0; 1] и (1; 9]. Поскольку функции \(\frac{1}{\sqrt{x}}\) и \(\sqrt{x}\) являются непрерывными на своих промежутках, функция \(f(x)\) будет непрерывной внутри каждого из них.

2) Остается проверить условие непрерывности функции в точке разрыва, то есть при \(x = 1\). Чтобы функция была непрерывной в точке \(x = 1\), необходимо обеспечить существование односторонних пределов функции в этой точке. Так как график функции \(f(x)\) содержит часть гиперболы \(\frac{1}{\sqrt{x}}\), предел функции в точке \(x = 1\) слева (т.е. при \(x \to 1^-\)) будет равен \(\frac{1}{\sqrt{1}} = 1\). При этом, предел функции справа (т.е. при \(x \to 1^+\)) будет равен \(\sqrt{1} = 1\). Таким образом, односторонние пределы в точке \(x = 1\) существуют и равны, что обеспечит непрерывность функции \(f(x)\) в этой точке.

Таким образом, заданное аналитическое определение функции удовлетворяет требованию непрерывности на полуинтервале (0; 9] и содержит одну точку разрыва, соответствующую переходу от гиперболы к графику функции \(y = \sqrt{x}\). Надеюсь, данное объяснение помогло понять и обосновать ответ для школьника! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, спросите.