Яку кульку масою 100 г повісили на нитці довжиною 50 см, щоб утворити маятник? Який період коливання маятника

Для розв"язання цієї задачі ми можемо скористатися формулами, що описують період коливання та енергію маятника.

1. Розрахуймо період коливання маятника. Формула для періоду коливання маятника залежить від довжини нитки \(L\) та прискорення вільного падіння \(g\). В нашому випадку, для обчислення періоду, нам потрібно ввести довжину нитки, а не масу грузу:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\]

Довжина нитки \(L\) у нас дорівнює 50 см, а прискорення вільного падіння \(g\) приблизно 9.8 м/с\(^2\). Підставимо ці значення в формулу:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{0.5}{9.8}} \approx 2\pi\sqrt{0.051}\approx 2\pi(0.226) \approx 1.422 \, \text{секунди}\]

Таким чином, період коливання маятника становить приблизно 1.422 секунди.

2. Розрахуймо енергію маятника. Енергія маятника може бути розбита на потенційну енергію \(E_{\text{п}}\) та кінетичну енергію \(E_{\text{к}}\). Згідно принципу збереження енергії, загальна енергія маятника повинна залишатися постійною.

Так як найбільше відхилення від положення рівноваги становить 15 градусів, то ми можемо вважати, що груз знаходиться на висоті \(h\) над своїм нижнім положенням, де потенційна енергія дорівнює нулю. Потенційна енергія \(E_{\text{п}}\) маси \(m\) та висоти \(h\) обчислюється за формулою:

\[E_{\text{п}} = mgh\]

Підставимо значення маси грузу \(m\) (100 г або 0.1 кг), прискорення вільного падіння \(g\) та висоти \(h\). Висоту \(h\) можна вважати рівною довжині дуги \(s\), яку відхиляє груз, яка виміряна у радіанах та визначається формулою:

\[s = L\theta\]

Підставимо значення довжини нитки \(L\) (0.5 м або 50 см) та відхилення грузу \(\theta\) (15 градусів) у формулу і отримаємо:

\[s = 0.5 \cdot \frac{\pi \cdot 15}{180} \approx 0.131 \, \text{метра}\]

Тепер обчислимо потенційну енергію:

\[E_{\text{п}} = 0.1 \cdot 9.8 \cdot 0.131 \approx 0.128 \, \text{Дж}\]

Застосуємо принцип збереження енергії та обчислимо кінетичну енергію:

\[E_{\text{к}} = E_{\text{заг}} - E_{\text{п}}\]

де \(E_{\text{заг}}\) - загальна енергія маятника. Враховуючи, що \(E_{\text{заг}}\) та \(E_{\text{п}}\) рівні між собою, отримуємо:

\[E_{\text{к}} = E_{\text{заг}} - E_{\text{п}} = 0.128 \, \text{Дж}\]

Таким чином, енергія маятника становить приблизно 0.128 Дж.

Отже, задачу про маятник залежно від максимального відхилення від положення рівноваги, маси грузу та довжини нитки ми розв"язали, обчисливши період коливання маятника (1.422 секунди) та енергію маятника (0.128 Дж).