Яку довжину відрізка утворює перпендикуляр, проведений через центр правильного трикутника АВС до цієї площини, якщо

Щоб визначити довжину відрізка, утвореного перпендикуляром, проведеним через центр правильного трикутника АВС до площини АВС, ми можемо скористатися знаннями про властивості правильного трикутника.

Давайте розглянемо площину АВС і перпендикуляр, що пронизує її через центр. Назвемо точку перетину цього перпендикуляра з площиною М.

Відомо, що перпендикуляр має довжину 9 см і утворює кут 30 градусів з площиною АВС.

Оскільки АВС - правильний трикутник, всі його сторони мають однакову довжину. Позначимо цю довжину як S.

Точка М розташована на прямій, яка проходить через центр правильного трикутника і перпендикуляра. Оскільки перпендикуляр має довжину 9 см, то відстань від центра до точки М становитиме половину відстані перпендикуляра. Тобто, $AM=\frac{1}{2}\cdot 9=4.5$ см.

Задача полягає в тому, щоб знайти довжину відрізка МВ. Для цього можемо скористатися теоремою Піфагора для трикутника АМВ. За теоремою Піфагора, сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи. В даному випадку АМ - один з катетів, ВМ - другий катет, а ВА - гіпотенуза.

Тобто, $А{М}^2+В{М}^2=В{А}^2$.
Підставимо відомі значення:
${4.5}^2+В{М}^2=S^2$.

Оскільки пряма, яка проходить через центр трикутника і перпендикуляр, розбиває правильний трикутник на дві рівні половинки, то кут між катетом АМ і ВМ дорівнює 30 градусів. З цього випливає, що $ВМ=2\cdot АМ$.

Підставимо це значення до формули:
${4.5}^2+(2\cdot 4.5{)}^2=S^2$.

Спростимо це рівняння:
$20.25+20.25\cdot 4=S^2$,
$20.25+81=S^2$,
$101.25=S^2$.

Залишається знайти корінь з отриманого рівняння:
$S=\sqrt{101.25}$.

Отже, довжина відрізка, утвореного перпендикуляром, проведеним через центр правильного трикутника АВС до площини, дорівнює $\sqrt{101.25}$ см.