5. Яка площа правильного чотирикутника, який вписаний в коло з діаметром: А) 16см. Б) 8см В) 12см. Г) 24см

Для решения этой задачи нам потребуется знание о свойствах вписанных фигур и формуле для площади круга.

1. Дано: правильный четырехугольник вписан в круг.

2. Мы знаем, что правильный четырехугольник вписан в круг, значит его все углы равны и каждая его сторона касается окружности.

3. Из свойств вписанных фигур мы знаем, что среди всех треугольников с одной стороной и вписанных в одну окружность, самый большой по площади будет равносторонний треугольник.

4. Площадь равностороннего треугольника можно вычислить по формуле: \(S = \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4}\), где \(a\) - длина стороны треугольника.

5. Так как наш четырехугольник правильный, все его стороны равны между собой. Обозначим сторону этого четырехугольника как \(a\).

6. Радиус окружности можно найти, поделив диаметр на 2, то есть \(r = \frac{D}{2}\), где \(D\) - диаметр окружности.

7. Так как круг - описанный вокруг четырехугольника, то расстояние от центра окружности до любой стороны четырехугольника равно радиусу.

8. Значит, от центра окружности до какой-либо стороны четырехугольника равно \(r\).

9. Так как треугольник, составленный из радиуса, высоты и стороны четырехугольника, равносторонний, то в нем каждая сторона равна радиусу окружности \(r\).

10. Таким образом, \(a = r\).

11. Теперь, зная все это, мы можем вычислить площадь четырехугольника при разных значениях диаметра окружности.

A) Диаметр окружности равен 16 см. Значит, радиус окружности будет равен \(r = \frac{16}{2} = 8\) см. Следовательно, сторона четырехугольника также будет равна 8 см. Подставляем значение в формулу для площади равностороннего треугольника: \(S = \frac{{8^2 \sqrt{3}}}{4} = \frac{{64 \cdot \sqrt{3}}}{4} = 16\sqrt{3}\) квадратных сантиметров.

Б) Диаметр окружности равен 8 см. Значит, радиус окружности будет равен \(r = \frac{8}{2} = 4\) см. Следовательно, сторона четырехугольника также будет равна 4 см. Подставляем значение в формулу для площади равностороннего треугольника: \(S = \frac{{4^2 \sqrt{3}}}{4} = \frac{{16 \cdot \sqrt{3}}}{4} = 4\sqrt{3}\) квадратных сантиметров.

В) Диаметр окружности равен 12 см. Значит, радиус окружности будет равен \(r = \frac{12}{2} = 6\) см. Следовательно, сторона четырехугольника также будет равна 6 см. Подставляем значение в формулу для площади равностороннего треугольника: \(S = \frac{{6^2 \sqrt{3}}}{4} = \frac{{36 \cdot \sqrt{3}}}{4} = 9\sqrt{3}\) квадратных сантиметров.

Г) Диаметр окружности равен 24 см. Значит, радиус окружности будет равен \(r = \frac{24}{2} = 12\) см. Следовательно, сторона четырехугольника также будет равна 12 см. Подставляем значение в формулу для площади равностороннего треугольника: \(S = \frac{{12^2 \sqrt{3}}}{4} = \frac{{144 \cdot \sqrt{3}}}{4} = 36\sqrt{3}\) квадратных сантиметров.

Таким образом, площадь правильного четырехугольника, вписанного в круг с данными диаметрами, равна:
A) \(16\sqrt{3}\) квадратных сантиметров.
Б) \(4\sqrt{3}\) квадратных сантиметров.
В) \(9\sqrt{3}\) квадратных сантиметров.
Г) \(36\sqrt{3}\) квадратных сантиметров.