Какова длина дуг, образованных хордами, соединяющими середины двух соседних сторон квадрата, вписанного в окружность

Дано: квадрат, вписанный в окружность радиусом 4 дециметра.

Мы должны найти длину дуги, образованной хордами, соединяющими середины двух соседних сторон квадрата.

Для начала, давайте определим длину стороны квадрата. Радиус окружности равен половине длины диагонали квадрата. Диагональ квадрата равна удвоенной длине его стороны (вспоминаем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами равными сторонам квадрата). Таким образом, диагональ равна:

\[Диагональ = 2 \times Сторона\]

\[4 = 2 \times Сторона\]

\[Сторона = 2\]

Теперь мы можем рассмотреть треугольник, образованный радиусом окружности, хордой (стороной квадрата) и дугой. Этот треугольник является прямоугольным, так как радиус и хорда перпендикулярны между собой в точке их пересечения.

Мы знаем, что радиус окружности равен 4 дециметрам, поэтому один катет прямоугольного треугольника равен:

\[4 - 2 = 2\]

Другой катет равен половине длины хорды, так как он соединяет середины двух соседних сторон квадрата:

\[Катет = \frac{2}{2} = 1\]

Теперь мы можем найти длину гипотенузы треугольника с помощью теоремы Пифагора:

\[Гипотенуза^2 = Катет^2 + Катет^2\]
\[Гипотенуза^2 = 1^2 + 2^2\]
\[Гипотенуза^2 = 1 + 4\]
\[Гипотенуза^2 = 5\]
\[Гипотенуза = \sqrt{5}\]

Таким образом, длина дуги, образованной хордами, соединяющими середины двух соседних сторон квадрата, равна длине окружности, образованной гипотенузой треугольника. Длина окружности равна произведению длины радиуса на 2π, где π - это математическая константа, примерное значение которой равно 3.14159.

\[Длина\;дуги = Длина\;окружности\]
\[Длина\;дуги = 2π \times Радиус\]
\[Длина\;дуги = 2π \times \sqrt{5}\]

Ответом будет \(2π \times \sqrt{5}\) дециметров.