Яку довжину має сторона квадрата, який був повернутий на 45° навколо його центра? Який периметр восьмикутника, якщо

Чтобы найти длину стороны квадрата после поворота на 45°, нам нужно знать длину стороны исходного квадрата.

Пусть сторона исходного квадрата равна \(a\). После поворота квадрата на 45°, образуется новый квадрат, в котором сторона старого квадрата становится диагональю.

Чтобы найти длину диагонали нового квадрата (которая равна длине стороны нового квадрата), мы можем использовать теорему Пифагора. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой \(a\) (сторона исходного квадрата) и катетами \(x\) (сторона нового квадрата) и \(x\) (другая сторона нового квадрата), теорема Пифагора гласит:

\[a^2 = x^2 + x^2\]
\[a^2 = 2x^2\]
\[x^2 = \frac{a^2}{2}\]
\[x = \sqrt{\frac{a^2}{2}}\]
\[x = \frac{a}{\sqrt{2}}\]
\[x = \frac{a\sqrt{2}}{2}\]

Таким образом, длина стороны нового квадрата равна \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\).

Чтобы найти периметр восьмиугольника, мы должны сложить длины всех его сторон. Восьмиугольник образуется от исходного квадрата и нового квадрата после поворота.

У исходного квадрата есть 4 стороны длиной \(a\), а у нового квадрата после поворота есть 8 сторон длиной \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\).

Таким образом, периметр восьмиугольника составляет:

\[P = 4a + 8 \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}\]
\[P = 4a + 4a\sqrt{2}\]
\[P = 4a(1+\sqrt{2})\]

Это и есть искомая формула для периметра восьмиугольника, если его вершины совпадают с вершинами исходного квадрата и нового квадрата после поворота.