1 Найдите расстояние между точками А(-3; 2; -4) и В(5; -4; 6). Найдите координаты середины отрезка АВ. 2 Найдите

Задача 1.

Для нахождения расстояния между точками А и В в трехмерном пространстве применяется формула расстояния между двумя точками. Давайте воспользуемся этой формулой и найдем расстояние.

Формула для нахождения расстояния между двумя точками P1(x1; y1; z1) и P2(x2; y2; z2) выглядит следующим образом:

\[d = \sqrt{{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2}}\]

Заменим соответствующие значения в формуле:

\[
\begin{align*}
d &= \sqrt{{(5 - (-3))^2 + (-4 - 2)^2 + (6 - (-4))^2}}\\
&= \sqrt{{(5 + 3)^2 + (-4 - 2)^2 + (6 + 4)^2}}\\
&= \sqrt{{8^2 + (-6)^2 + 10^2}}\\
&= \sqrt{{64 + 36 + 100}}\\
&= \sqrt{{200}}\\
&= 10\sqrt{{2}}
\end{align*}
\]

Таким образом, расстояние между точками A(-3; 2; -4) и B(5; -4; 6) равно \(10\sqrt{{2}}\).

Чтобы найти координаты середины отрезка АВ, мы можем использовать среднее арифметическое значений координат точек A и B.

Координаты середины отрезка можно вычислить по формулам:

\[
\begin{align*}
x_{\text{середины}} &= \frac{{x_1 + x_2}}{2}\\
y_{\text{середины}} &= \frac{{y_1 + y_2}}{2}\\
z_{\text{середины}} &= \frac{{z_1 + z_2}}{2}
\end{align*}
\]

Заменим значения в формулах:

\[
\begin{align*}
x_{\text{середины}} &= \frac{{(-3 + 5)}}{2} = \frac{{2}}{2} = 1\\
y_{\text{середины}} &= \frac{{(2 + (-4))}}{2} = \frac{{-2}}{2} = -1\\
z_{\text{середины}} &= \frac{{(-4 + 6)}}{2} = \frac{{2}}{2} = 1
\end{align*}
\]

Таким образом, координаты середины отрезка АВ равны (1; -1; 1).

Ответ:
1) Расстояние между точками А и В равно \(10\sqrt{{2}}\).
2) Координаты середины отрезка АВ равны (1; -1; 1).

Задача 2.

Для нахождения координат векторов AB и CB, заданных точками А, В и С, мы просто вычисляем разность между координатами соответствующих точек:

\[
\begin{align*}
\overrightarrow{AB} &= \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = (7 - (-2); -5 - 5; 1 - (-6)) = (9; -10; 7)\\
\overrightarrow{CB} &= \overrightarrow{B} - \overrightarrow{C} = (7 - 3; -5 - (-7); 1 - 4) = (4; 2; -3)
\end{align*}
\]

Для нахождения модуля вектора AB (его длины) мы используем формулу:

\[
|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{{x^2 + y^2 + z^2}}
\]

Подставляем значения координат вектора AB в формулу:

\[
|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{{9^2 + (-10)^2 + 7^2}} = \sqrt{{81 + 100 + 49}} = \sqrt{{230}}
\]

Таким образом, модуль вектора AB равен \(\sqrt{{230}}\).

Чтобы найти координаты вектора \(s = 2\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{CB}\), мы просто вычисляем линейную комбинацию векторов AB и CB, умножая каждый вектор на соответствующий коэффициент и складывая результаты:

\(s = 2(9; -10; 7) - 3(4; 2; -3) = (18; -20; 14) - (12; 6; -9) = (6; -26; 23)\)

Таким образом, координаты вектора \(s\) равны (6; -26; 23).

Чтобы найти косинус угла между векторами AB и CB, мы можем воспользоваться формулой скалярного произведения векторов:

\(\cos(\theta) = \frac{{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CB}}}{{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{CB}|}}\)

Подставляем значения в формулу:

\(\cos(\theta) = \frac{{(9; -10; 7) \cdot (4; 2; -3)}}{{\sqrt{{230}} \cdot \sqrt{{29}}}} = \frac{{(36 - 20 - 21)}}{{\sqrt{{230}} \cdot \sqrt{{29}}}} = \frac{{-5}}{{\sqrt{{230}} \cdot \sqrt{{29}}}}\)

Таким образом, косинус угла между векторами AB и CB равен \(\frac{{-5}}{{\sqrt{{230}} \cdot \sqrt{{29}}}}\).

Ответ:
1) Координаты вектора AB равны (9; -10; 7), а координаты вектора CB равны (4; 2; -3).
2) Модуль вектора AB равен \(\sqrt{{230}}\).
3) Координаты вектора s равны (6; -26; 23).
4) Косинус угла между векторами AB и CB равен \(\frac{{-5}}{{\sqrt{{230}} \cdot \sqrt{{29}}}}\).

Задача 3.

Для того чтобы определить, при каких значениях переменной х вектора а(х; -4; 3) и b(-15; 12; -9) а) будут перпендикулярны, б) будут коллинеарны, нам необходимо использовать свойства скалярного произведения векторов.

а) Чтобы векторы были перпендикулярными, их скалярное произведение должно быть равно нулю. Посчитаем скалярное произведение векторов а и b:

\((х; -4; 3) \cdot (-15; 12; -9) = х \cdot (-15) + (-4) \cdot 12 + 3 \cdot (-9) = -15х - 48 - 27 = -15х - 75\)

Теперь приравняем скалярное произведение к нулю и решим уравнение:

\(-15х - 75 = 0\\
-15х = 75\\
х = -5\)

Таким образом, когда значение переменной х равно -5, векторы а(-5; -4; 3) и b(-15; 12; -9) будут перпендикулярными.

б) Для того чтобы векторы были коллинеарными, они должны быть параллельными и иметь одинаковое направление или противоположное направление. Давайте посмотрим, при каком значении переменной х вектор а(х; -4; 3) будет коллинеарен с вектором b(-15; 12; -9).

Для этого необходимо поделить соответствующие координаты векторов на х и приравнять полученные значения. Рассмотрим соотношение между координатами x и -15:

\(\frac{{х}}{{-15}} = \frac{{-4}}{{12}} = \frac{{3}}{{-9}}\)

Решив это уравнение, мы найдем значение переменной х:

\(\frac{{х}}{{-15}} = \frac{{-4}}{{12}}\\
12х = -60\\
х = -5\)

Таким образом, когда значение переменной х равно -5, вектор а(-5; -4; 3) будет коллинеарен с вектором b(-15; 12; -9).

Ответ:
а) Векторы а(-5; -4; 3) и b(-15; 12; -9) будут перпендикулярными при значении переменной х равном -5.
б) Векторы а(-5; -4; 3) и b(-15; 12; -9) будут коллинеарными при значении переменной х равном -5.