Найдите длину диагонали в параллелограмме ABCD, где сторона CD равна √2, угол между стороной AB и продолжением

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать теорему косинусов. Давайте обозначим диагонали параллелограмма как AC и BD, а углы задачи как \(\alpha = 150^\circ\) и \(\beta = 135^\circ\).

Сначала, найдем угол между сторонами параллелограмма:

\[
\theta = 180^\circ - \beta = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ
\]

Теперь, мы можем использовать теорему косинусов для треугольника \(ABC\):

\[
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\alpha)
\]

Учитывая, что сторона CD равна \(\sqrt{2}\), сторона BC равна CD и угол \(\alpha\) равен 150 градусам, мы можем подставить значения в формулу:

\[
AC^2 = AB^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot AB \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(150^\circ)
\]

Упростим данное выражение:

\[
AC^2 = AB^2 + 2 - 2 \cdot AB \cdot \sqrt{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)
\]

Поскольку параллелограмм имеет противоположные стороны одинаковой длины, мы можем заменить AB на CD:

\[
AC^2 = CD^2 + 2 - 2 \cdot CD \cdot \sqrt{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)
\]

Так как сторона CD равна \(\sqrt{2}\), мы можем подставить этот результат:

\[
AC^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

Упрощаем получившееся выражение:

\[
AC^2 = 2 + 2 - \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}
\]

\[
AC^2 = 4 - \sqrt{6}
\]

Теперь мы можем найти длину диагонали AC:

\[
AC = \sqrt{4 - \sqrt{6}}
\]

Итак, длина диагонали AC параллелограмма ABCD равна \(\sqrt{4 - \sqrt{6}}\).