1. Найдите сторону АК и угол N треугольника МNP, если треугольники МNP и АКТ равны и углы М и А, Р и Т соответственные

Начнем с решения первой задачи.

1. В данной задаче у нас есть треугольник МNP и треугольник АКТ, которые равны между собой. Это значит, что соответствующие стороны данных треугольников равны между собой.

Таким образом, МК = НТ, НМ = КА и МН = ТК.

Также известно, что угол К равен 60°.

Для решения задачи, нам необходимо найти сторону АК и угол N треугольника МNP.

Для начала найдем сторону НМ.
Из условия задачи известно, что МН = 32 см.

Так как треугольник МНК - равнобедренный, то НМ = МК.
Поэтому, сторона МК тоже равна 32 см.

Далее найдем сторону ТК.
Известно, что МН = ТК. Следовательно, ТК = 32 см.

Теперь мы знаем стороны АК и ТК треугольника АКТ, а также сторону МК треугольника МNP.

Так как треугольники МNP и АКТ равны, то соответствующие стороны МН и АТ также равны.

Таким образом, АТ = МН = 32 см.

Для нахождения стороны АК, мы можем воспользоваться теоремой косинусов для треугольника АКТ.
По этой теореме, квадрат стороны АК равен сумме квадратов сторон АТ и ТК, минус два произведения этих сторон на косинус угла К.

Таким образом, мы можем записать:

\[АК^2 = АТ^2 + ТК^2 - 2 \cdot АТ \cdot ТК \cdot \cos K\]

\[АК^2 = 32^2 + 32^2 - 2 \cdot 32 \cdot 32 \cdot \cos(60°)\]

\[АК^2 = 2 \cdot 32^2 - 2 \cdot 32^2 \cdot \frac{1}{2}\]

\[АК^2 = 32^2\]

\[АК = 32\]

Таким образом, сторона АК равна 32 см.

Теперь найдем угол N треугольника МNP.
Так как треугольник МНК - равнобедренный, то угол Н равен углу К.
Так как треугольники МNP и АКТ равны, то соответствующие углы Н и А равны.

Таким образом, угол N равен 60°.

Ответ:
Сторона АК треугольника МNP равна 32 см, а угол N равен 60°.

Теперь перейдем ко второй задаче.

2. В данной задаче нам необходимо найти длины сторон треугольника, если известно, что его периметр равен 48 см, а отношение сторон составляет 7:9:8.

Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон. Поэтому мы можем записать уравнение:

7x + 9x + 8x = 48

где x - множитель отношения.

Суммируя все члены, получаем:

24x = 48

Делим обе части уравнения на 24:

x = 48/24

x = 2

Теперь, когда мы знаем значение x, можем найти длины сторон треугольника:

Сторона 1 = 7x = 7 * 2 = 14 см
Сторона 2 = 9x = 9 * 2 = 18 см
Сторона 3 = 8x = 8 * 2 = 16 см

Ответ:
Длины сторон треугольника равны 14 см, 18 см и 16 см.

Теперь перейдем к третьей задаче.

3. В данной задаче нам нужно найти периметр треугольника, если его стороны относятся как 5:7:11, а сумма наибольшей и наименьшей сторон равна.

Пусть x - множитель отношения.

Сумма сторон треугольника равна 5x + 7x + 11x = 23x.

Согласно условию задачи, сумма наибольшей и наименьшей сторон равна 23x.

Таким образом, у нас есть уравнение:

23x = сумма сторон

Теперь нам необходимо найти сумму сторон. Для этого мы можем воспользоваться информацией о соотношении сторон (5:7:11).

При условии, что сумма наибольшей и наименьшей сторон равна, мы можем записать уравнение:

5x + 11x = сумма сторон

Упрощая, получаем:

16x = сумма сторон

Из уравнения 23x = сумма сторон и 16x = сумма сторон мы получаем:

23x = 16x

Разделим обе части на x:

23 = 16

Данное уравнение не является верным, так как 23 и 16 не равны друг другу. Несмотря на это, данное уравнение стимулирует решение, поскольку оно неверно. Это может объясниться тем, что результаты сторон не могут быть определены в данном случае. Вероятно, в условии были допущены ошибки.

Ответ:
Из представленной информации невозможно найти периметр треугольника, так как данные некорректны. Если это учебная задача, рекомендуется обратиться к преподавателю для уточнения условия.