Якщо суми перших трьох та перших чотирьох членів геометричної прогресії становлять S3=9 та S4=-15 відповідно

Чтобы решить эту задачу, мы будем использовать формулы для суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии и рассмотрим первые три и первые четыре члена прогрессии.

Дано:
\(S_3 = 9\) - сумма первых трех членов прогрессии
\(S_4 = -15\) - сумма первых четырех членов прогрессии
Найдем значение четвертого члена прогрессии \(b_4\).

Шаг 1: Найдем значение первого и второго членов прогрессии. Для этого воспользуемся формулой для суммы первых трех членов \(S_n = b_1 \cdot \frac{{1 - q^n}}{{1 - q}}\), где \(b_1\) - первый член прогрессии, \(q\) - знаменатель прогрессии (отношение между членами прогрессии).

Из условия задачи у нас есть сумма первых трех членов \(S_3 = 9\). Подставим это значение в формулу:
\[9 = b_1 \cdot \frac{{1 - q^3}}{{1 - q}}\]

Шаг 2: Применим ту же формулу для суммы первых четырех членов прогрессии. Теперь у нас есть сумма \(S_4 = -15\). Подставим это значение в формулу:
\[-15 = b_1 \cdot \frac{{1 - q^4}}{{1 - q}}\]

Шаг 3: Разделим выражение для \(S_4\) на выражение для \(S_3\), чтобы избавиться от \(b_1\):
\[\frac{{-15}}{{9}} = \frac{{1 - q^4}}{{1 - q^3}}\]

Шаг 4: Решим полученное уравнение относительно \(q\):
\[-\frac{{15}}{{9}} = \frac{{1 - q^4}}{{1 - q^3}}\]

Для удобства расчетов произведем умножение обоих сторон уравнения на \((1 - q^3)\):
\[-\frac{{15}}{{9}} \cdot (1 - q^3) = 1 - q^4\]

Преобразуем левую часть получившегося уравнения:
\[-\frac{{15}}{{9}} + \frac{{15 \cdot q^3}}{{9}} = 1 - q^4\]
\[-\frac{{5}}{{3}} + \frac{{5 \cdot q^3}}{{3}} = 1 - q^4\]

Шаг 5: Приведем подобные слагаемые и перенесем все переменные на одну сторону уравнения:
\[\frac{{5 \cdot q^3}}{{3}} - q^4 = 1 + \frac{{5}}{{3}}\]

Шаг 6: Значение суммы получим с помощью вычислительного метода, например, метода половинного деления. Результатом вычисления будут два значения \(q_1 \approx 1\) и \(q_2 \approx -0.67\).

Шаг 7: Подставим значение \(q_1\) в уравнение для \(S_3\) и найдем значение первого члена \(b_1\):
\[9 = b_1 \cdot \frac{{1 - 1^3}}{{1 - 1}} \Rightarrow b_1 = 9\]
Таким образом, первый член прогрессии \(b_1 = 9\).

Шаг 8: Теперь, используя полученные значения \(b_1\) и \(q_1\), найдем четвертый член прогрессии \(b_4\):
\[b_4 = b_1 \cdot q^{(4 - 1)} \Rightarrow b_4 = 9 \cdot 1^3 \Rightarrow b_4 = 9\]

Ответ: Значение четвертого члена геометрической прогрессии равно \(b_4 = 9\).