Який знаменник використовується в зростаючій геометричній прогресії, якщо її третій, четвертий і шостий члени утворюють

Для розв"язання цієї задачі спочатку необхідно знайти значення третього, четвертого і шостого членів в зростаючій геометричній прогресії. Потім перевіримо, чи утворюють ці значення арифметичну прогресію, і визначимо якісь закономірності.

Назвемо перший член прогресії \(a\) і знаменник \(r\). Тоді третій член можна записати як \(ar^2\), четвертий член - \(ar^3\), а шостий член - \(ar^5\).

За умовою проблеми третій, четвертий і шостий члени утворюють арифметичну прогресію, тобто різниця між ними має бути постійною.

Отже, можемо записати два рівняння:

\[
ar^3 - ar^2 = ar^5 - ar^3
\]

Спростимо це рівняння:

\[
ar^2(r-1) = ar^3(r^2-1)
\]

Скасуємо спільні множники на обох сторонах рівняння:

\[
r-1 = r^2-1
\]

Перенесемо всі члени на одну сторону рівняння:

\[
r^2-r-(r-1)-1 = 0
\]

Скористаємося формулою дискримінанта квадратного рівняння:

\[
D = b^2 - 4ac
\]

де \(a = 1\), \(b = -1\) і \(c = -(r-2)\).

Підставимо ці значення в формулу дискримінанта:

\[
D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(r-2))
\]

Спростимо це вираз:

\[
D = 1 + 4(r-2)
\]

Розкриємо дужки:

\[
D = 1 + 4r - 8
\]

Спростимо:

\[
D = 4r - 7
\]

Рівняння має два розв"язки - корені:

\[
r_1 = \frac{{-b + \sqrt{D}}}{{2a}} = \frac{{1 + \sqrt{4r-7}}}{{2}}
\]

\[
r_2 = \frac{{-b - \sqrt{D}}}{{2a}} = \frac{{1 - \sqrt{4r-7}}}{{2}}
\]

Таким чином, знаменник прогресії може бути або \(r_1 = \frac{{1 + \sqrt{4r-7}}}{{2}}\), або \(r_2 = \frac{{1 - \sqrt{4r-7}}}{{2}}\).

Для того, щоб перевірити який з цих знаменників використовується, ми повинні знайти значення третього, четвертого і шостого членів прогресії.

Для прикладу, давайте візьмемо значення \(r = 2\).

Тоді:

Третій член: \(ar^2 = a(2^2) = 4a\)

Четвертий член: \(ar^3 = a(2^3) = 8a\)

Шостий член: \(ar^5 = a(2^5) = 32a\)

Значення цих членів не утворюють арифметичну прогресію, тому знаменник прогресії не може бути \(r = 2\).

Тепер, використовуючи значення \(r = \frac{{1 + \sqrt{4r-7}}}{{2}}\) і \(r = \frac{{1 - \sqrt{4r-7}}}{{2}}\), ми можемо перевірити, який з них дає числа, що утворюють арифметичну прогресію, і тільки такий знаменник підходить.

Оцінюючи значення знаменника для кожного \(r\), ми можемо знайти правильний відповідь. Зробимо це:
1) Записати значення третього, четвертого і шостого членів прогресії відповідно до значень \(r\).
2) Порівняти ці значення і побачити, чи утворюють вони арифметичну прогресію.
3) Якщо значення утворюють арифметичну прогресію, то відповідь \(r\) буде найбільшим знаяенням для якого таке відбувається.
4) Інакше, відповідь \(r\) буде найменшим знаяенням для якого таке відбувається.