Який розмір другого катета та гіпотенузи прямокутного трикутника, у якого один катет має довжину 18 см та протилежний

Для решения этой задачи мы можем использовать тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Давайте обозначим катет с длиной 18 см как \(a\), второй катет как \(b\), а гипотенузу как \(c\).

Мы знаем, что в треугольнике угол, противолежащий катету \(a\) равен 60°. Это означает, что мы можем использовать теорему синусов для нахождения длины гипотенузы и второго катета.

Теорема синусов гласит: \(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\), где \(A\), \(B\), \(C\) являются соответствующими углами треугольника, а \(a\), \(b\), \(c\) - противолежащие стороны.

В нашем случае, угол \(A\) равен 60°, а сторона \(a\) равна 18 см. Мы хотим найти длину стороны \(b\) и гипотенузу \(c\).

Используя теорему синусов, мы можем записать:

\(\frac{18}{\sin 60^\circ}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\)

Теперь нам нужно найти значения \(\sin 60^\circ\), \(\sin B\) и \(\sin C\).

Значение \(\sin 60^\circ\) оно равно \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), поскольку 60° - это один из особых углов, для которых мы знаем значения синуса.

Теперь мы можем переписать уравнение:

\(\frac{18}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\)

Упростив выражение, мы получаем:

\(\frac{36}{\sqrt{3}}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\)

Чтобы найти значение \(\sin B\), мы можем использовать обратную функцию синуса, которая обозначается как \(\sin^{-1}\) или \(\arcsin\). Применяя обратную функцию синуса к обоим сторонам уравнения, мы получаем:

\(\sin^{-1}\left(\frac{36}{\sqrt{3}}\right)=\sin^{-1}\left(\frac{b}{\sin B}\right)=\sin^{-1}\left(\frac{c}{\sin C}\right)\)

Вычисляя значение выражения \(\sin^{-1}\left(\frac{36}{\sqrt{3}}\right)\) на калькуляторе, мы получаем около 90°.

Таким образом, угол \(B\) равен примерно 90°.

Мы можем заметить, что это соответствует углу прямого треугольника. Следовательно, второй катет будет равен длине катета с длиной 18 см, а гипотенуза будет равна длине катета с длиной 18 см, умноженной на \(\sqrt{2}\).

Таким образом, ответ на задачу: второй катет такого прямоугольного треугольника будет 18 см, а гипотенуза будет \(18\sqrt{2}\) см.