Каково взаимное положение прямой и плоскости, заданные уравнениями x = –1 + 2t, y = 3 + 4t, z = 3t и 2x – 2y + z

Для того чтобы определить взаимное положение прямой и плоскости, заданных уравнениями, нужно рассмотреть их взаимосвязь и сравнить их свойства.

Уравнение прямой задано следующими параметрическими уравнениями:

\[x = -1 + 2t\]
\[y = 3 + 4t\]
\[z = 3t\]

Уравнение плоскости задано следующим уравнением:

\[2x - 2y + z = 0\]

Для начала рассмотрим уравнение прямой. Мы видим, что оно задано векторным видом, где \(t\) - параметр, который может принимать любое значение. Это означает, что прямая простирается вдоль вектора \((2,4,3)\). Таким образом, прямая является направленной прямой.

Теперь рассмотрим уравнение плоскости. Мы видим, что оно задано в явном виде и имеет три переменные \(x\), \(y\) и \(z\), связанные между собой уравнением \(2x - 2y + z = 0\). Это означает, что плоскость представляет собой плоскость в трехмерном пространстве.

Теперь сравним свойства прямой и плоскости:

1. Размерность: Прямая - одномерный объект, т.е. она имеет только одно направление вдоль вектора, заданного уравнениями. Плоскость - двумерный объект, т.е. она имеет два независимых направления в трехмерном пространстве.

2. Принадлежность точек: Прямая проходит через бесконечное количество точек, расположенных вдоль вектора \((2,4,3)\). Плоскость проходит через бесконечное количество точек, удовлетворяющих уравнению \(2x - 2y + z = 0\).

3. Взаимное пересечение: Прямая и плоскость могут пересекаться в одной или нескольких точках. В данном случае, чтобы определить точку пересечения, нужно решить систему уравнений прямой и плоскости.

Собирая всю информацию, мы можем сказать, что прямая и плоскость заданы разными уравнениями, имеют разную размерность и могут пересекаться в одной или нескольких точках, в зависимости от конкретных значений параметра \(t\).