Каковы значения радиусов вписанной и описанной окружностей правильного треугольника высотой 15 см? Предоставьте решение

Хорошо, давайте решим эту задачу.

Правильный треугольник является треугольником, у которого все стороны и углы равны. Высота правильного треугольника является биссектрисой и медианой одновременно.

Пусть \(ABC\) - правильный треугольник, где \(AB\), \(BC\) и \(AC\) - стороны треугольника, а \(H\) - точка пересечения высот треугольника.

Мы знаем, что \(BC = 15\) см, так как это высота треугольника. Чтобы найти радиусы вписанной и описанной окружностей, нам понадобятся следующие формулы:

1. Радиус вписанной окружности: \(r = \frac{{a}}{{2 \cdot \tan(\frac{{\pi}}{{n}})}}\)
2. Радиус описанной окружности: \(R = \frac{{a}}{{2 \cdot \sin(\frac{{\pi}}{{n}})}}\)

Где \(a\) - длина стороны треугольника и \(n\) - количество сторон треугольника.

В случае нашего правильного треугольника, у которого стороны равны, мы можем обозначить его длину как \(a\).

Теперь, чтобы найти радиус вписанной и описанной окружностей, мы должны узнать длину стороны треугольника. В правильном треугольнике углы равны 60 градусов, поэтому мы можем использовать теорему синусов для нахождения длины стороны.

Теорема синусов гласит:
\[\frac{{a}}{{\sin(60^\circ)}} = \frac{{15}}{{\sin(45^\circ)}}\]

Решим это уравнение, чтобы найти длину стороны \(a\):

\[\sin(60^\circ) = \frac{{15}}{{a}} \cdot \sin(45^\circ)\]
\[a = \frac{{15 \cdot \sin(60^\circ)}}{{\sin(45^\circ)}}\]

Теперь, когда у нас есть длина стороны треугольника (\(a\)), мы можем использовать формулы для нахождения радиуса вписанной и описанной окружностей.

Для вписанной окружности:
\[r = \frac{{a}}{{2 \cdot \tan(\frac{{\pi}}{{3}})}}\]

Для описанной окружности:
\[R = \frac{{a}}{{2 \cdot \sin(\frac{{\pi}}{{3}})}}\]

Вычислим значения радиусов:

\[r = \frac{{a}}{{2 \cdot \tan(\frac{{\pi}}{{3}})}}\]
\[r = \frac{{\frac{{15 \cdot \sin(60^\circ)}}{{\sin(45^\circ)}}}}{{2 \cdot \tan(\frac{{\pi}}{{3}})}}\]
\[r \approx 6.88 \, \text{см}\]

\[R = \frac{{a}}{{2 \cdot \sin(\frac{{\pi}}{{3}})}}\]
\[R = \frac{{\frac{{15 \cdot \sin(60^\circ)}}{{\sin(45^\circ)}}}}{{2 \cdot \sin(\frac{{\pi}}{{3}})}}\]
\[R \approx 8.08 \, \text{см}\]

Таким образом, значение радиуса вписанной окружности составляет приблизительно 6.88 см, а значение радиуса описанной окружности составляет приблизительно 8.08 см.