Який є радіус основи циліндра, якщо в циліндрі проведено переріз, який паралельний його осі та віддалений від неї

Для розв"язання цієї задачі спочатку скористаємося властивостями циліндра та трикутника.

Переріз, який паралельний осі циліндра, утворює прямий кут з основою циліндра. Оскільки цей переріз є прямокутним трикутником, то використаємо теорему Піфагора, щоб знайти довжину радіусу циліндра.

За теоремою Піфагора, гіпотенуза \(c\) прямокутного трикутника дорівнює квадратному кореню з суми квадратів катетів \(a\) і \(b\).

У нашій задачі маємо:

\[a = 3 \, \text{см}\] (відстань від перерізу до осі циліндра)

\[c = 16 \, \text{см}\] (діагональ перерізу циліндра)

За теоремою Піфагора:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

Підставляємо відомі значення:

\[16^2 = 3^2 + b^2\]

Розв"язуємо це рівняння для \(b^2\):

\[b^2 = 16^2 - 3^2\]

\[b^2 = 256 - 9\]

\[b^2 = 247\]

Тепер використаємо властивості трикутника. За визначенням синусу кута між площиною основи та діагоналлю трикутника, маємо:

\[\sin(60°) = \frac{a}{c}\]

Підставляємо відомі значення:

\[\frac{1}{2} = \frac{a}{16}\]

Розв"язуємо це рівняння для \(a\):

\[a = \frac{16}{2}\]

\[a = 8\]

Тепер ми знаємо довжину катета \(a\) та радіус \(b\). Щоб знайти радіус основи циліндра, додамо катет \(a\) і радіус \(b\):

\[радіус \, основи = a + b\]

\[радіус \, основи = 8 + \sqrt{247}\]

Таким чином, радіус основи циліндра дорівнює \(8 + \sqrt{247}\) см.