Який перший член геометричної прогресії, якщо знаменник дорівнює 2/3, а сума чотирьох перших членів

Для розв"язання цієї задачі нам потрібно використати формулу для суми перших \(n\) членів геометричної прогресії:

\[S_n = a \cdot \frac{{1 - r^n}}{{1 - r}}\]

де \(S_n\) - сума перших \(n\) членів геометричної прогресії,
\(a\) - перший член прогресії,
\(r\) - знаменник прогресії,
\(n\) - кількість членів прогресії.

У даній задачі ми знаємо знаменник прогресії, який дорівнює \(\frac{2}{3}\), і кількість перших членів, яка складає 4. Ми також знаємо, що сума цих 4-х перших членів нам не відома.

Давайте позначимо задані значення: \(r = \frac{2}{3}\) і \(n = 4\).

Тепер ми можемо записати формулу для суми перших чотирьох членів прогресії:

\[S_4 = a \cdot \frac{{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^4}}{{1 - \frac{2}{3}}}\]

Знаючи, що \(S_4\) є сумою перших чотирьох членів прогресії, нам потрібно знайти значення \(a\).

Тепер ми можемо розв"язати дане рівняння для \(a\):

\[S_4 = a \cdot \frac{{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^4}}{{1 - \frac{2}{3}}}\]

\[S_4 = a \cdot \frac{{1 - \frac{16}{81}}}{{\frac{1}{3}}}\]

\[S_4 = a \cdot \frac{{65}}{{27}}\]

Оскільки ми не знаємо значення \(S_4\), ми не можемо обчислити точне значення \(a\). Однак, ми можемо виразити \(a\) залежно від \(S_4\):

\[a = \frac{{S_4 \cdot 27}}{{65}}\]

Отже, перший член геометричної прогресії дорівнює \(\frac{{S_4 \cdot 27}}{{65}}\) для цієї конкретної прогресії.