Який є об єм піраміди, якщо основу її становить правильний трикутник зі стороною 6 см, а одна з її бічних граней

Для розв"язання цієї задачі використаємо формулу об"єму піраміди, яка залежить від площі основи та висоти піраміди.

1. Оскільки грань піраміди є правильним трикутником, то площа її основи може бути обчислена за формулою:

\[S_{\text{осн}} = \frac{{\sqrt{3}}}{{4}}a^2\]

де \(a\) - довжина сторони правильного трикутника, \(S_{\text{осн}}\) - площа основи піраміди.

Підставляючи дані з умови, отримаємо:

\[S_{\text{осн}} = \frac{{\sqrt{3}}}{{4}} \cdot 6^2 = \frac{{\sqrt{3}}}{{4}} \cdot 36 = 9\sqrt{3}\]

2. Оскільки одна з бічних граней піраміди перпендикулярна до площини основи, то вона є пряма.

3. Оскільки дві інші бічні грані піраміди нахилена до площини основи під кутом 45 градусів, то обидві грані утворюють рівносторонній трикутник з площею \(S_{\text{біч}}\), де:

\[S_{\text{біч}} = \frac{{\sqrt{3}}}{{4}}a^2\]

\(a\) - довжина сторони рівностороннього трикутника.

Підставляємо значення \(S_{\text{біч}}\) з умови:

\[S_{\text{біч}} = \frac{{\sqrt{3}}}{{4}} \cdot 6^2 = \frac{{\sqrt{3}}}{{4}} \cdot 36 = 9\sqrt{3}\]

4. Висотою піраміди буде відстань від вершини до площини основи або до рівностороннього трикутника.

5. Оскільки грань піраміди є правильним трикутником, то можна побудувати висоту, яка розділятиме трикутник на два прямокутних трикутники.

6. Один із цих прямокутних трикутників утворюють катети \(a/2\) і \(h\), де \(h\) - шукана висота.

7. Використовуючи теорему Піфагора, можна записати наступне:

\[(a/2)^2 + h^2 = a^2\]

\[h^2 = a^2 - (a/2)^2 = \frac{3}{4}a^2\]

\[h = \sqrt{\frac{3}{4}a^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}a\]

8. Знаючи, що висота піраміди відповідає відстані від вершини до площини основи, можна записати:

\[h_{\text{пір}} = \frac{\sqrt{3}}{2}a\]

9. Знаючи площу основи \(S_{\text{осн}}\) і висоту піраміди \(h_{\text{пір}}\), можна обчислити об"єм піраміди \(V\) за формулою:

\[V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h_{\text{пір}}\]

Підставляючи дані з умови, отримаємо:

\[V = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 6 = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 3 \cdot 6 = 54 \, \text{см}^3\]

Отже, об"єм піраміди становить 54 кубічних сантиметри.